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根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条件是 实际上上式是一个充要条件 稳定条件 不仅适用于SISO系统,也适用于MIMO系统。现在讨论MIMO系统如何定义无穷范数的问题。考虑如下图所示稳定的MIMO系统 系统范数是下列范数的诱导范数 u y 根据Parseval定理,这些信号范数诱导出来的系统范数为 其中对于常熟复矩阵A, 表示谱范数: 下面研究一种特殊的摄动形式——分子-分母摄动,它依赖于对象传递函数P的分式表示 ,若P为有理的,则N和D分别 为分子,分母多项式。分子-分母摄动模型将摄动表示为 - 加入补偿器后的闭环系统可以表示成: - H 其中 由图可得传递函数H为 1×2矩阵 和2×1矩阵 的奇异值均为: 所以摄动和系统的无穷范数的平方分别为: 当摄动满足如下条件: 闭环系统鲁棒稳定的充要条件是灵敏度函数 和输入灵敏度函数 满足不等式: 可见 为别为对象P的分母和分子的相对摄动大小的度量。则上面的鲁棒稳定准则表明在分母相对摄动较大的频段,标称灵敏度函数 应该比较小,而在分子相对摄动较大的频段,标称补灵敏度函数 应该较小。 上面的分析意味着低频摄动最好作为分母摄动来处理。低频摄动通常是由参数不确定性引起,常称之为结构不确定性。 另一方面高频摄动最好作为分子摄动来处理。高频摄动常由寄生效应和未建模动态所引起,常称之为非结构不确定性。 上面讨论的这种形式的鲁棒性设计问题实质上是混合灵敏度问题的一种形式。混合灵敏度问题是频率响应成形的有效方法。通过适当选择函数 ,可以使灵敏度函数在低频段小,而输入灵敏度函数在高频段小。选择这些函数要兼顾鲁棒性和性能的要求。 2.1.2 优化问题的状态空间描述 几个概念: (1)称 为系统(A,B,C,D)的不变零点,当 时矩阵 降秩。 (2)对有理矩阵G,rankR(s)G表示G的秩。 (3) 为定义在虚轴上的矩阵函数的线性空间。 为定义在开右半复平面内解析且有界的矩阵函数构成的线性空间。显然有 。 一个有理的传递函数矩阵属于 当且仅当这个传递函数矩阵是稳定的并且为真,当 ,我们定义 表示最大奇异值。即无穷范数是幅频特性的峰值。 设有一个线性时不变系统 找一个动态补偿器: 通过反馈 使闭环系统稳定且 范数严格小于某一预先给定值 。 首先做两个假设: (1)两个直馈矩阵应该分别为1-1映射和上映射; (2)两个给定子系统在虚轴上没有不变零点。 在上面假设条件下,满足条件的控制器存在的充要条件:两个给定的Riccati方程应该有半正定的稳定解,并且这两个解的乘积的谱半径小于 。 假设1:系统 满足下面条件: (1)(A,E,C1,D1)在虚轴上没有不变零点; (2)(A,B,C2,D2)在虚轴上没有不变零点。 对于任意 ,考虑如下矩阵: 对于任意 ,考虑如下矩阵: 我们定义两个矩阵束: 其中 是与系统 相关的能控性矩阵束; 是与系统 相关的能观性矩阵束。 再定义两个传递矩阵: 令 表示谱半径。 定理:考虑系统 ,设系统(A,B,C2,D2)与(A,E,C1,D1)在虚轴上没有不变零点,则下面的叙述使等价的: (1)对于系统 ,存在一个时不变有限维动态补偿器 使得闭环系统的传递矩阵GF 为内部稳定并且 范数小于1,即 。 (2)存在半正定矩阵P,Q使得 并同时使得以下秩条件成立: 这里应说明: (a)对于P的约束是与状态反馈的 控制问题相关的。对于Q的约束是与对P的约束伴随的。Q的存在性与我们能否在观测y的基础上对状态x进行良好的估计有关。而检验我们能否同时估计和