高等数学同济大学课件上第6_2几何应用幻灯片.pptVIP

例15. 设 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆 例17. 计算由曲面 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 例18. 求曲线 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (94 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、旋转体的侧面积 (补充) 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 侧面积为 例19. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 应用公式得 当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 星形线 目录 上页 下页 返回 结束 星形线 星形线是内摆线的一种. 点击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 内容小结 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 上下限按顺时针方向确定 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 绕 x 轴 : 4. 旋转体的侧面积 侧面积元素为 (注意在不同坐标系下 ds 的表达式) 绕 y 轴 : (柱壳法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S . 方法2 用柱壳法 说明: 上式可变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 半圆为 下 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 求侧面积 : 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式也可写成 上 半圆为 下 它也反映了环面微元的另一种取法. 作业 P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 面积及弧长部分： 体积及表面积部分： P279 13; 14 ; 15 (1), (4); 17; 18 补充题: 设有曲线 过原点作其切线 , 求 由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一 周所得到的旋转体的表面积. 备用题 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 故在区域 分析曲线特点 2. 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 ,