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Lyapunov方程 Lyapunov方程是指具有如下形式的方程 A,Q给定，如果P存在，就说Lyapunov方程有解。 以下叙述中，用In（A）=(p，q，r)表示A的惯性指数。（正，负，零实部） * Lyapunov方程的一般解 矩阵方程AX-XB=C有唯一解X的充分必要条件是A和B没有相同的特征根。 设 （i=1，2……n）是矩阵A的特征值，则Lyapunov方程有唯一实对称解的充要条件是 i，j=1，2，……n 设Q为任意给定的正定矩阵，则Lyapunov方程有唯一正定解P的充要条件是In（A）=（0，n，0） * 设Q= 是半正定矩阵，且 （A,D）是可观的、可控的、可检测的、可稳定的。Lyapunov方程具有唯一正定解的充分必要条件是In（A）=（0，n，0） 可稳定：对于系统 进行状态反馈 ，若闭环控制系统对于任意初始状态 满足 ，则称为系统是可稳定的，即（A,B）是可稳定的。 对于系统 ，如果（ ， ）是可稳定的，则称系统是可检测的，即（C，A）是可检测的 * 可稳定性；（A,B）是可稳定的 存在使A+BK渐进稳定的矩阵K 对于任意的Re(S) 0,有rank（SI-A，B）=n。 可检测性（C，A）是可检测的 存在使A+HC渐进稳定的矩阵Ｈ　　　对于任意的Re(S) 0,有rank　　　=n。 可控性？ 可观性？ 如何判断？　　　　　　　　　　 　　 * Riccati方程 Riccati方程是指具有如下形式的矩阵方程： 其中 ，且Q为对称矩阵，R为半定或者半负定矩阵，若存在P满足上式，则称该方程有解。 * Raccati解的一般形式 定义 维的矩阵E如下： 称为Raccati方程的Hamiltonian矩阵 设 （i=1,2……n）是E的n个特征根 ， 是以之对应的特征向量，记 （i=1,2……n）对应的Jordan标准型为J，并定义 矩阵T为 ，则有ET=TJ，令 矩阵 和 为 ，那么关于Riccati方程的解有如下结论： * 若P是方程的解，p可以表示为 ，反之，若 是非奇异矩阵，则上式给出的矩阵P是Riccati方程的解。 Hamilton矩阵E的特征值关于原点是对称分布的，即若 是E的一个特征值，则 均为E的特征值 设 （i=1，2，……n）为E的n个特征值， 和 由相应的特征向量组成， ，则 是Hermitian阵。 设 是Riccati方程的一个解，若对应特征值 的特征向量 包含在矩阵 * 中，对应于 的 也包含在T中，则P是实矩阵。 Riccati方程存在一个实对称解P,且使得In（A+RP）=(0,n,0)的充要条件是： 1）In(E)=(n,n,0) 2)(A,R)是可稳定的。 若（A，B）是可稳定的，（A，c）是可检测的，则In（E）=（0，n，0） Riccati方程存在唯一非负解P且使矩阵 In 的充要条件是 （A，B）是可稳定的，（A，c）是可检测的， * 正实性 有理函数， ，其中，p（s）是有理多项式，假定p（s）和q（s）互素？，则一定存在 ， ，使得（A，b，c，d）是G（s）的一个最小实现？，即 实现：给定线性定常系统的传递函数矩阵G（s），寻求一个状态空间描述 使 ，则称此状态空间描述是给定传递函数G(s)的一个实现。 * 若G（s）为正实有理函数，则其在开右半平面无极点。 谱分解：对于给定的有理函数G（s），若存在有理函数 ，使得