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3、极值与最值 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 （4） (判别法的推广) 则: 数 , 且 1) 当 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . 4、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间I 上有二阶导数 5、曲线的渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 函数图形的描绘 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6、曲率与曲率圆 常考题型 1、洛必达法则求极限 2、求函数的极值和最值， 确定曲线的凹凸性和拐点 3、不等式的证明 4、方程的根 5、求渐近线 解: 原式 例1. （1） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 则 （2） 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数 例2. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 证明 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明 时, 如何设辅助 函数更好 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 例4. 证明当 x 0 时, 证: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 例5. 设 且在 上 存在 , 且单调 递减 , 证明对一切 有 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常数变异法 例6. 求数列 的最大项 . 证: 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 极大值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别: 例7. 设 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求曲线 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的