高等数学利用对称计算重积分幻灯片.pptVIP

设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则： 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称 于是， 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 证 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 （2）积分区域如图： 于是， 积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则： 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则： 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则： 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 证 （1）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称 于是， 证 （2）积分区域如图： 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 证 由积分区域 D 关于 x 轴对称性 （2）积分区域如图： 于是， 积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则： 积分区域 D 关于 直线y=x对称，即若(x,y)?D,则(y,x)?D. 二重积分的轮换对称性： 有 D1 ， D2分别是 D 中关于 直线y=x对称的两部分，则： y=x x y o D1 D2 利用对称性计算三重积分 1.关于积分区域?的对称性: 2.关于函数f(x,y,z)的奇偶性 若 则称f(x,y,z)在?上是关于z的奇或偶函数 *类似地可定义f(x,y,z)在?上是关于z的奇或偶函数. 若(x,y,z)??,有(x,y,z)??,则?关于xoy坐标面对称。 *类似地可定义?关于yoz,zox坐标面的对称性。 ⅰ ⅱ 若 则称f(x,y,z)在?上是关于y,z的奇或偶函数. *类似地可定义其他. 若 则称f(x,y,z)在?上是关于x,y,z的奇或偶函数 ⅲ 4. 利用对称性计算三重积分的有关结论: 若?关于xoy坐标面对称, f(x,y,z)在?上是关于z的奇或偶函数, ⅰ. *类似地可表示其他一些结果. 3.积分区域?,被积函数f(x,y,z) 的轮换对称性: 将积分区域?的边界曲面方程(或被积函数f(x,y,z) )中,变量x,y,z依此轮换,方程(或函数f(x,y,z))的形式不变 若?关于三坐标面都对称, f(x,y,z)在?上是同时关于x,y,z的 奇或偶函数, 则 ⅲ. 若?关于yoz,zox坐标面都对称, f(x,y,z)在?上是同时关于x,y的 奇或偶函数, 则 ⅱ. *类似地可表示其他一些结果. 例1 D由下列曲线所围: D3 o x y D D1 D2 D4 解: 由积分区域D与被积函 数特点,构造“对称性” 例2 ?由 所围成. 解1: D 考虑截面法 DZ 解2: ?的投影区域D: D 考虑用柱坐标 即 “穿针法” 例3 DZ x y z o R R R 解1： ?与?的特点（？） x 解2： y z o R R R D x y z o R R R D? 解3: 例4 设f(x)在[a,b]上连续且恒大于零,则 分析： 欲证式左右两边特点 右 “升维法”，以利用积分不等式 左（？） 比较(1),(2)，进一步： 故 分析2： 利用柯西不等式:（微积分（上）P224 6（1）） 设f(x)，g(x)均在[a,b]上连续，则 *本题所用方法前面用过吗？又，考虑柯西不等式的证明？ 例 设f(u)可微，f(0)=0,t0,?: 求 分析： 实质：求一元函数极限 求F(t): 一、二重积分，三重积分的定义 二、二重积分，三重积分的计算 三、重积分的应用 重点：二重积分，三重积分的计算 本章小结 三重积分的计算： 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系； 在各种坐标系系下相应的穿针法与截面法； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限； 二重积分的计算： 根据积分区域和被积函数的特点选择： 合适的坐标系； 恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。 *2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对 称性等方法来计算重积分.此外,还要会用对称性,交换积分次序,变 量代换以及重积分性质来解决一些较难的问题(计算题及证明题). *1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则： 利用对称性计算二重积分 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D