四川大学线性代数课件四川大学线性代数课件第二章第三节行列式按一行或一列的展开幻灯片.pptVIP

课后思考题： 思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 行列式练习： 1. 第n+1列加到第n列,? 第2n列加到第1列. 也可用按行或列展开做. 按第一行展开。 (按第一行展开) 观察三阶行列式，可以按照以下的方式来计算： 余子式与代数余子式 如何确定每一个二阶行列式的符号？ 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式（cofactor），记作 叫做元素 的代数余子式（algebraic cofactor）． 例如 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应 的代数余子式乘积之和，即 定理4： 证明： （行列式一行的元素与另一行对应各元素的代数余子式乘积之和为0） 第i行 原来的第j行，用第i行去换 行列式有两行 相同，值为0 综上，得公式（Laplace 定理） 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理 在理论上是重要的。 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 另外，一些含变元的高阶（如n 阶）行列式，不可能按照上述方法完全展开，也需要利用行列式的展开定理，选择n 阶行列式的某个含有较多零元的行（列）展开，化为较低阶的行列式，进而得到递归公式。 由行列式的这个性质，我们得到一个很重要的矩阵，即A的伴随矩阵 其中Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式. A*称作A的伴随矩阵. 注意：伴随矩阵是按照转置写出来的 设AA*=C=[cij], 其中 于是 |A||A*|=|AA*|=|A|n, 当|A|?0, 则有|A*|=|A|n-1 思考：从这个结论中我们发现了什么？ 例1 计算行列式 解 按第一行展开，得 例3　计算 解 　　　本例中利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用． 定义： 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 故 同理可得 性质： 证明： 则 证 用数学归纳法 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 例5 求行列式的值 例6 求三对角行列式的值 课后思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 答案： 课后思考题：