四川大学线性代数课件四川大学线性代数课件第三章第一节可逆矩阵幻灯片.pptVIP

所以 为所求解. 例4： 所以 可逆，且 证： 所以 可逆， 课后思考： 设方阵满足方程 设方阵满足方程 证： (1) (2) 例5： 设方阵B为幂等矩阵， （即 ，从而对正整数k， ） 证明：A是可逆矩阵，且 证明： 例6 设方阵A，B，AB-E均可逆，证明： 证： (1) (2) 课后思考 1、任何矩阵有逆矩阵和伴随矩阵吗？ 2、设A为n阶可逆矩阵，则 （1）(A * )-1= (A –1)* （2）(AT ) * = (A * )T 吗？ 3、设A、B为n阶方阵，则(AB )* =B * A *吗？ 4、设A为n(n 2 )阶矩阵，则 （1）(kA) * =kA * （2）(A * ) * =A 吗？ 5、设A、B为n阶矩阵，则 （1）(A+B )-1 =A -1 +B -1 （2）(A+B )* =A * +B * 6、设A、B为n阶方阵，且满足 A+B=AB 证明A-E为可逆矩阵； 解 1、n阶方阵A的行列式 A 不等于0时，才有逆矩阵，只有方阵才有伴随矩阵. 2、正确. 这是因为 （1）A * = A Ａ-1 ，故 所以(A* )-1=(A –1)* 又 (Ａ-1 ) * ＝Ａ-1 (Ａ-1 ) -1 ＝Ａ -1Ａ （２）设Ａ=(aij) ， aij在 A 中的代数余子 (A *) =(Aji) =(Aij)， 所以 (A) * =(A* ) 3、正确 式为Aij，则 又(A )* = (aij)* =( Aij ) 知 4、不正确.由第1题的公式和证明过程， 所以 (kA)* =kn-1 A * 又若A可逆，则 A * = A A-1 故 所以 (A * )* = 若A不可逆，上式仍成立，证明略. 5、不正确 （1）如果A=E，B=-E，这时A+B=0，故A+B不可逆 （2）如果A=E， 则A *=E， 又 且 显然 6（1）由 A+B=AB 有 AB-A-B+E=E (A-E )( B-E )=E 即 所以由性质2知A-E可逆，且 (A-E )-1=B-E （2）同理可知B-E可逆，且 ( B-E )-1=A-E 即 A=E+ ( B-E )-1 问题的提出 记 则有 在矩阵中我们推广了数的加、减、乘 运算，我们自然就会想到矩阵是否有类似于数的运算——除法呢？我们知道，所谓数的除法，就是给定一个非零的数a，存在唯一的b,使得 ab=ba=1 于是我们自然会问，在矩阵运算中，对于任一非零矩阵A，是否存在唯一矩阵B，使 AB=BA=E？ 矩阵乘法运算中的“1” 逆矩阵的定义 定义 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得 则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，记为A-1，即 B=A-1 由定义易知，如果方阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的，事实上，设B、C都是A的逆矩阵，即 AB=BA=E AC=CA=E AB=BA=E 则 B=BE=B(AC ) = (BA) C=EC=C 所以A的逆矩阵是唯一的. 显然有单位矩阵E是可逆的，且E-1=E 满足什么条件的方阵是可逆的 ？ A A-1= A-1 A=E 有 设n阶方阵A可逆，由 所以 ，即如果方阵A可逆，有 ， 反过来，设 作矩阵 是矩阵A的伴随矩阵，其中Aij 是行列式 A 中元素aij 代数余子式.由行列式的展开定理，可得 同理，由行列式展开定理，可得 由假设 A 0，可得 即 定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且　　　　　　 例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵. 同理可得 A12=-3 A22=10 A32=-4 A13=1 A23=-4 A33=2 解 因为 所以A-1存在。 得 所以 如b1b2b3?0, B可逆, 且 求逆运算容易出错, 在求得A-1后, 可验证 AA-1=E, 保证结果是正确的. 可逆矩阵的性质: （1）如果方阵A可逆，则其逆矩阵唯一。 （2） 证明 证明 看P47 选择题2 用伴随矩阵来求逆矩阵的方法，对我们来说运算量偏大， 故常只用于求较低阶的矩阵的逆