四川大学线性代数课件四川大学线性代数课件第三章第二节初等矩阵和逆矩阵的求法幻灯片.pptVIP

* * * * 课后思考 思考题2 将矩阵A表示成初等矩阵的乘积。 答案：1 * * 解: 思考解答 * * * * * * 思考题2解答：将矩阵A表示成三个初等矩阵的乘积。 解： * * * * 初等变换 我们来看线性方程组的一般形式： 什么是初等变换?为什么要对矩阵作初等变换？ * * 用矩阵形式来表示此线性方程组： 令 则，线性方程组可表示为 * * 如何解线性方程组？ 可以用高斯消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换两个方程的次序； （2）以不等于０的数乘以某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． * * 若记 则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的行的变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． * * 即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵 施行3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 统称为矩阵的初等行变换，对矩阵而言同样可以作列变换 * * 定义： 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)． 初等行、列变换统称初等变换。 * * 矩阵的等价 对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩 阵A与B等价，记作 A B. 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。 故是一种等价关系。即： * * 定义：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 初等矩阵 * * (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵。 * * (2) 以数 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。 C C P C * * (3) 以数 乘某行（列）加到另一行（列）上， 得初等倍加矩阵。 * * 1、初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 P P P P P P * * 2、 证明： * * 另两种情形同理可证 * * 用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵 A为可逆矩阵的充要条件是A可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵E. 定理2： 使得 又因为初等矩阵可逆，所以等号两边左乘 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，充分性得证。 证明： 由定理，知 ,即存在初等矩阵 * * 必要性： n 阶可逆矩阵 的行列式|A|?0, 所以它的第一列元素不全为零. 不妨假设a11?0(如a11=0, 必存在ai1?0, 此时先把第1行与第i行交换), 先将第一行乘1/a11, 再将变换后的第一行乘(-ai1)加至第i行(i=2,3,...,n)得 * * 其中P11,P12,...,P1m是对A所作初等行变换所对应的初等矩阵. 由于|A1|=|P1m...P12P11A|?0, 故对B中A1继续作如对A所作的初等变换, 直至把B化为主对角元为1的上三角矩阵, 即 * * 再将C中第n,n-1,...,2行依次分别乘某些常数加到前面的第n-1,n-2,...,1行, 就可使C化为单位矩阵, 即 P3k...P32P31C=I.综上就有 (P3k...P32P31)(P2l...P22P21)(P1m...P12P11)A=I其中A左边的矩阵都是初等矩阵, 定理得证. * * 等号两边右乘 推论2： 如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等 行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。 即， 即， 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积 推论1： * * 解： 例1： 能否 写成 “=”？ * * 例2： 用初等列变换求可逆矩阵A的逆矩阵 解：用初等列变换 * * A-1 * * 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的行列式 等于0。结论：矩阵不可逆! 求逆时,若用初等行变换必须坚持始 终,不能夹杂 任何列变换.（作列变换时也一样） 注： 即 初等行变换 另：利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于求矩阵 * * 例3： 解： 方法1：先求出 ，再计算 。 方法2：直接求 。 初等行变换 * * * * 又， 列变换 行变换 * * 矩阵方程 解 * * 例4 解