四川大学线性代数课件四川大学线性代数课件第二章第一节n阶行列式的定义幻灯片.pptVIP

例3： 写出四阶行列式中含有因子 的项。 例4： 若 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前一项带正号， 后一项带负号。 例5： 计算行列式 行列式中不为零的项只有 例6： 计算四阶行列式 例7　用行列式定义计算 解 用定义计算行列式的一般方法:从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有能取到的值，并注意每一项的符号. 注意 一些特殊的行列式 (1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0） (2) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0） (3) (4) ？ 是5阶行列式中的项吗？符号如何决定？ 引理 令 是n阶行列式中的任一项， 则项 的符号等于 证明： 由行列式定义可知，确定项 的符号， 需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。 为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的 位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。 对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及 列标排列同时经过一次对换。 设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。 设经过一次对换后行标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 由定理，对换改变排列的奇偶性 所以， 是奇数 也是奇数 所以 是偶数， 即 是偶数， 所以 与 同时为奇数或同时为偶数。 即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标 所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。 另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以 把项（1）变为 所以 得证。 推论 例8 求 f（x）中x4 的系数 x4 的系数分析：按列标看 用消元法解二元线性方程组 二阶行列式的引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 为方便记忆，把 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 即 主对角线 次对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 三阶行列式 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 列标 行标 对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 若记 或 得 则三元线性方程组的解为: 1、n阶排列 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 第一节 n阶行列式的定义 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 由引例 同理 在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中， 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序（顺序）. 排列的逆序数 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为 例如 排列32514 中， 3 2 5 1 4 逆序数为3 1 故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 1，2，…n称为自然排列 计算排列逆序数的方法 方法1 分别计算出排在 前面比它大的数 码之和即分别算出 这 个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 方法2 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当