经典中考数学压轴题十二讲第十讲：“依样葫芦”善提炼.docVIP

第十讲：“依样葫芦”善提炼 ——阅读探究性问题中的思维提炼及有效模仿 阅读探究性问题近年频频成为中考热点，同时却也成为一些同学的备考难点．原因就在于阅读探究性问题从一般意义上来看，已不单纯是初中所学课本上的内容，而是课本知识的延伸拓广——或是生活实际问题，或是高中知识的衔接，或是一个“新概念”、“新规定”，或是归纳类比发现新规律等等． 阅读探究性问题的最根本的特点就是提供附带问题的阅读材料，通过“现场学习”，检验我们获取新知识的能力以及发现与创新的能力． 例1：阅读下列材料： 求函数的最大值. 解：将原函数转化成的一元二次方程，得. ∵为实数，∴. ∴.因此，的最大值为. 根据材料给你的启示，求函数的最小值. 例2：如图1，已知等边的边长为，、、分别是、、边上的点（均不与点、、重合），记的周长为.（1）若、、分别是、、边上的中点，则_______； （2）若、、分别是、、边上任意点，则的取值范围是 . 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说“那我们继续再翻折次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案. 中，，． 现有一动点按下列方式在矩形内运动：它从点出发，沿着与边夹角为的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当点碰到边，沿与边夹角为的方向作直线运动，当点碰到边，再沿着与边夹角为的方向作直线运动，…，如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少． 小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将矩形沿直线折叠，得到矩形．由轴对称的知识，发现，. 请你参考小贝的思路解决下列问题： （1）点与点重合 次点从点出发到第一次与点重合； （2） 进一步探究：改变矩形中、的长，且满足．动点从点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形相邻的两边上. 若点第一次与点重合7次，则的值为 . 例4：阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题，如图，在梯形中，，对角线，相交于点．若梯形的面积为，试求以，，的长度为三边长的三角形的面积． 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点作的平行线交的延长线于点，得到的即是以，，的长度为三边长的三角形（如图）． 如图3，的三条中线分别为，，． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以，..，的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于_______． 例5：如图1至图4中，两平行线间的距离均为6，点为上一定点． 思考 如图1，圆心为的半圆形纸片在，之间（包括，），其直径在上，，点为半圆上一点，设． 当　　度时，点到的距离最小，最小值为　　． 探究一 在图1的基础上，以点..为旋转中心，在， 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角　　度，此时点到的距离是　　． 探究二 将如图1中的扇形纸片按下面对的要求剪掉，使扇形纸片绕点在，之间顺时针旋转． （1）如图3，当时，求在旋转过程中，点到的最小距离，并请指出旋转角的最大值； （2）如图4，在扇形纸片旋转过程中，要保证点能落在直线上，请确定的取值范围． （参考数椐：，，．） 中，，，，，且，若是奇异三角形，求； （3）如图，是⊙的直径，是⊙上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在⊙内存在点，使得，． ①求证：是奇异三角形； ②当是直角三角形时，求的度数． 例7：问题情境 已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型 设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为． 探索研究 （1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象． …… …… …… …… ②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质． ③在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数的最小值． 解决问题 （2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案． 8 图2 图