【全国百强校】北京市第四中学2017年九年级数学同步学案（无答案）：第二十一章一元二次方程 06一元二次方程知识点和题型总结.docVIP

一元二次方程知识点和题型总结 北京四中 董萍 一、知识与技能的总结 （一）概念 一元二次方程——“整式方程”；“只含一个未知数，且未知数的最高 次数是2”． 一元二次方程的一般形式——，按未知数x 降幂排列 方程的根（解）——是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方 程的根的个数． （二）一元二次方程的解法——把一元二次方程降次为一元一次方程求解 1．直接开平方法——适用于 的方程． 2．配方法——适用于所有的一元二次方程； 3．公式法——适用于 的方程．反映了一元二次方程的根 与系数的关系， （1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数 a、b、c； （2）先求出的值， 若，则代入公式 ． 若，则 ； 4．因式分解法 用因式分解法解一元二次方程的依据是： ． 通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的， 将一元二次方程转化为求两个 方程的解． （三）其它知识方法 1．根的判别式：，是解方程的 过程中产生的 （1）若，则方程有 解； （2）若，则方程有 解； （3）若，则方程有 解； 2．换元法 （1）； （2）1+x+x(1+x)=3 （3） （4） 3．可化为一元二次方程的分式方程 解方程 二、典型题型汇总 一元二次方程的概念 1．（一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般 形式： （1）（2） 2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值） (1) 关于x的方程, 当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程. (2)若分式，则 3．（由方程的根的定义求字母或代数式值） (1)关于的一元二次方程有一个根为0， 则 (2)已知关于的一元二次方程有一个根为1， 一个根为，则 ， (3)已知c为实数，并且关于的一元二次方程的一个根 的相反数是方程的一个根，则方程的根为 ，c= （二）用适当的方法求解下列方程 （三）一元二次方程的根的判别式（1） 1．为何值时，关于x的二次方程 （1）满足 时,方程有两个不等的实数根 （2）满足 时,方程有两个相等的实数根 （3）满足 时,方程无实数根 2．已知关于的方程，如果，那么此方程的根 的情况是（ ）． A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．没有实根 D．不能确定 3．已知关于的方程有实根，则的取 值范围是（ ）． A． B．且 C． D． 4．对任意实数m，求证：关于x的方程 无实数根. 5．设为整数，且时，方程 有两个相异整数根，求的值及 方程的根. 一元二次方程的根的判别式（2） 在整式一章中学习二次三项式的因式分解时，曾经遇到过这样 的问题：三项式（其中a、b、c为有理数），满足什么条件时， 它可以在有理数范围内因式分解？ 例如：下列多项式可在有理数范围内分解因式 一个多项式在给定数集内能否进行因式分解，是与当这个多项式的值为0时， 该方程在给定的数集内是否有解是密不可分的，例如上面举的例子中方程 结论： 推论： 判断下列二次三项式能否在有理数范围内分解因式？如果不能，说明 理由；如果能，请将它分解因式 判断下列字母系数k的二次三项式，能否分解因式？如果不能，说明 理由；如果能，请将它分解因式 结论： 注意： 利用一元二次方程求根公式，在实数范围内分解因式 （四）根系关系 若中，有，则有： = = 可推出：= ； = ； 根据一元二次方程的根与系数关系解答下列问题： 1．如果是、是方程的两个根，则的值为（ ）． A．1 B．17 C．6.25 D．0.25 （五）一元二次方程的应用 （一）数字问题 1．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数． （二）图形问题 2．已知一个凸多边形共有对角线35条，求这个凸多边形的边