微分求积法基本原理.pptVIP

* 微分求积法基本原理 解说人：李小龙 专业：工程力学 目录 微分求积法的定义 权系数的确定 不同求解域权系数的转换关系 一个算例 1.定义 式中L是线性微分算子； 是插值基函数， 为N个互异节点 中第j节点的坐标值。 不失一般性，考虑一维函数f(x),它在区间[a,b]上连续可微，则有 (1.1) 若 ，并记 ， （1.4） （1.2） （1.3） 我们称 为第i个节点的第j个n阶加权系数。这样N个节点共有 个加权系数。下面推导各阶加权系数的递推关系。（黑板上推） 对于定义在D上的连续函数，将全域上各点的函数值加权求和来表示各节点处的导数值的方法称为微分求积法。若将函数值看做基函数，可以理解为对插值基函数加权求和。 （1.5） （1.6） 实际应用中，我们一般最高求导为四阶，我们写出（1.4）式和（1.5）式的前面四项： 可以看出，关键是确定一阶导数的加权系数，也就是插值基函数 。 对于二维函数 ，通常可以用一维函数的积来表示，即 （1.7） 两个一维函数在节点的k阶导数值可以由节点的函数值表示： （1.8） （1.9） 式（1.8）和（1.9）中的 N，M分别为x和y方向划分的节点数。由上述两式可以导出二维函数g（x，y）在节点 的各阶偏导数的求值公式： （1.10） （1.11） （1.12） 各阶偏导数的加权系数都出自一维函数的加权系数，因此我们对一维函数的加权系数进行详细地讨论。 2.权系数的确定 对于n个离散点，我们可以用拉格朗日插值函数来近似代替他们所满足的函数关系。 定义： （1.13） 式中 称为拉格朗日插值多项式，其形式为 （1.14） 由式（1.13）对f（x）求一阶导数，得到 （1.15） 从而有 （1.16） 对比可得： （1.17） 因此： （1.18） 根据插值函数 各阶导数的递推关系，可以得到二阶及二阶以上的导数的权系数显示计算表达式 （1.19） 式（1.19）对微分求积法适用，这样，当一阶导数的权系数确定后，求高阶导数的权系数有两种方法可供选择：既可用递推公式（1.5），也可以用公式（1.19）。 加权系数取决于基函数的选取以及节点的划分 采用这种形式的插值基函数的方法称为调和微分求积法。 由此可以导出一阶加权系数的表达式为： 如果采用如下形式的插值基函数： 则（1.14）式写作： 高阶加权系数可有一阶系数由递推关系得到。 下面我们从另外一个角度来计算加权系数： 由微分求积法的定义（1.2）式，如果我们需要对未知函数求N阶导数，我们需要保证其N-1阶导数连续，只要满足这个条件，我们可以选取任意函数簇f（x）来导出权系数。 （1.20） 将方程（1.20）写成矩阵形式，得到 （1.21） 所以 （1.22） （1.23） （1.24） 对于变量 ，与变量 常采用线性变换关系 （1.25） 则区间[a,b]上N个互异节点 ，可以一一确定出区间 上对应的N个节点 。 由式（1.25）可得 ，由式（1.14）可知 ，因此 3、不同求解域权系数的转换关系 实际应用中为了避免对不同的求解区域多次编程计算，我们可以采用变量代换的方法将新变量转换为已有变量。 [α,β] （1.26） 当节点 对应于正则化区域，即 ，时，式（1.25）简化为 （1.27） *