第4讲无穷小与无穷大fxf.pptVIP

第一章 无穷小与无穷大 第四讲 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 一、无穷小 1. 定义 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小 . 1.无穷小是以0为极限的变量. 3.无穷小与自变量的变化过程相联系. 2.零是常数中唯一的无穷小量. 说明: 2. 无穷小与函数极限的关系 定理 1 ( 无穷小与函数极限的关系 ) 在自变量的同一变化过程 (或 中, 其中 是无穷小. 具有极限 的充分必要条件是 函数 3． 无穷小运算法则 定理2 有限个无穷小的和还是无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小! 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 1 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注：无限个无穷小的乘积不一定是无穷小. 说明: y = 0 是 的渐近线 . 例1 求 二、 无穷大 如果当 (或 )时，对应的函数 定义1 无限增大，则称 为当 值的绝对值 的无穷大. (或 )时 1．定义 是 过程中的无穷大. 例如 定的正数M(不论它多么大),总存在正数 (或正数X )， 数值 总满足不等式 (或 ). 定义2 设函数 在 的某一去心邻域内有定 义(或 大于某一正数时有定义).如果对于任意给 只要x 适合不等式 ),对应的函 (或 为当 记作 )时的无穷大. (或 则称函数 则记作 若在定义中将 式改为 注: (1) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. (2)必须指明自变量的变化过程. (3)无穷大必为无界函数,但无界函数未必是无穷大. 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 例 2 证明: 三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 定理4 在自变量的同一变化过程中, 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 内容小结 作业 P42 2(1); 3; 4；5