[工学]第二章附录 拉氏变换.pptVIP

拉普拉斯变换简介 一.拉氏变换 1.定义：设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分 存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。记为 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为： 几个重要的拉氏变换 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2)微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 (3)积分性质 若 则 式中 为积分 当t=0时的值。 证：设 则有 由上述微分定理，有 即： 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。 （4）.终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 等式两边对s趋向于0取极限 注：若 时f(t)极限 不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理： 证明方法同上。只是要将 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其象函数应乘以 b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以 即： (7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即： 证： (8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。 即 证明： 二.拉氏反变换 1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 。由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。 若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆变换。 解： 例3. 2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和 （2）情况2:F(s)有共轭极点 例2：求解微分方程 （3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。 那么 如果不记公式,可用以下方法求解 三.传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是 c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为： 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。 2.性质 (1)传递函数与微分方程一一对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。 例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ， 可用方框图表示 例2.双T网络 方法二：用复阻抗比： 注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即： 与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应，因此双T网络不能孤立地分开，必须作为一个整体来求传递函数。当后一个RC网络接到C1两端时，u2已不再是原来的u2，也就是说R1中的电流=C1中的电流+R2中电流，不再等于