F5 函数极限连续复习(二).pptVIP

第六节 2 函数极限存在的夹逼准则 3 单调有界数列必有极限 二、 两个重要极限 第七节 定义 定理 1 第二节 洛必达法则的一般形式: 第八节 一、函数连续性的定义 由于对自变量的增量 二、函数的间断点 间断点分类 第九节 定理3 二、初等函数的连续性 第十节 二、介值定理 P218, T11 求不定积分 P222, T11 求不定积分 P256, T2 当 k 为何值时, 反常积分 P256, T3 求 * 极限存在准则 两个重要极限 第一章 函数与极限 1 数列极限存在的夹逼准则 定理1 (数列极限存在的夹逼准则) 一、极限存在的 2 个准则 暨南大学珠海学院苏保河主讲 定理 2 暨南大学珠海学院苏保河主讲 如果 (1) (2) 则 暨南大学珠海学院苏保河主讲 暨南大学珠海学院苏保河主讲 注 2 注 第一章 函数与极限 无穷小的比较 暨南大学珠海学院苏保河主讲 如果 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 暨南大学珠海学院苏保河主讲 ～ 暨南大学珠海学院苏保河主讲 定理2 且 存在, 设 则 注 乘除可用, 加减不可用！ 常用的等价无穷小： ～ 时) ～ ～ ～ 暨南大学珠海学院苏保河主讲 ～ ～ x 可理解为“口” (当 洛 必 达 法 则 第三章 微分中值定理 与导数的应用 (洛必达法则) 暨南大学珠海学院苏保河主讲 存在 (或为 ) 定理 1 则 如果 f (x) 和 F (x) 满足: 通分 取倒数 取对数 其它不定型解决方法: 转 化 转化 转化 技巧 (1) 将极限存在且不为 0 的因子分离; (2) 结合利用等价无穷小. 暨南大学珠海学院苏保河主讲 函数的连续性与间断点 第一章 函数与极限 0、增量 定义0 差 u2 - u1 称为 u 的增量, 设变量 u 由初值 u1 变到终值 u2, 记为 终值与初值之 暨南大学珠海学院苏保河主讲 在点 定义1 在 的某邻域内有定义, 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 暨南大学珠海学院苏保河主讲 在点 有函数的增量 左连续 右连续 所以函数 连续有下列等价命题: 暨南大学珠海学院苏保河主讲 定义2 在某区间上每一点都连续, 则称它在该 区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间 上的连续函数的集合记作 暨南大学珠海学院苏保河主讲 若 注 续是指在 a 右连续; f (x) 在右端点 b 连续是指在 b 左连续. f (x) 在左端点 a 连 如果区间包括端点, 例如 [a, b], 在点 在 在 (1) 函数 f (x) (2) 函数 f (x) 不存在; (3) 函数 f (x) 存在, 但 不连续: 设 f (x) 的某去心邻域内有定义, 则在下列情 这样的点 形下, 虽有定义, 但 虽有定义, 且 称为 f (x) 的间断点 . 在 无定义; 暨南大学珠海学院苏保河主讲 函数 f (x) 在点 第一类间断点: 及 均存在. 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在. 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点. 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 暨南大学珠海学院苏保河主讲 连续函数的运算 第一章 函数与极限 暨南大学珠海学院苏保河主讲 初等函数的连续性 一、连续函数的运算法则 定理 1 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数. 暨南大学珠海学院苏保河主讲 在某点连续的有限个函数经有限次和, 差, 积, 暨南大学珠海学院苏保河主讲 注 可以证明: 定理 2 (递减). 递增 (递减) 也连续单调 连续单调递增 函数的反函数 基本初等函数在其定义区间内连续. 注 条件： 连续函数的复合函数是连续的. 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 暨南大学珠海学院苏保河主讲 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数. 定义区间: 包含在定义域内的区间. 初等函数: 闭区间上连续函数的性质 第一章 函数与极限 一、最值定理 定理1 大值和最小值. 在该区间上一定有最 在闭区间上连续的函数 暨南大学珠海学院苏保河主讲