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第一章 集合与简易逻辑 一、集合的概念与运算 1．集合 （1）集合是不定义的概念：①任意性；②确定性；③互异性；④无序性 （2）表示法：列举法、描述法 （3）特殊符号： （4）分类：有限集、无限集、空集（） 2．子集、真子集 （1）对于任意 且存在， （2），（子集包含空集与本身） （3）子集个数是，有个真子集，有个非空子集，有个非真空子集。 （4）且 3．交集、并集、补集 （1）且 （2）或 （3）且 （4） （6）， （7）反演律 （8）韦恩图 二、绝对值不等式、二次不等式的解法 1． 或 或 或 2．二次不等式 或， 或 或 3．有理不等式——序轴标根法 4．不等式恒成立 （1）恒成立（对于）或 （2）对于恒成立 （3）恒成立 恒成立 三、逻辑联结词，四种命题，充要条件 1．命题：可以判断真假的语句 2．逻辑联结词：或，且，非 3．简单命题：不含逻辑联结词的命题 4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题 5．真值表： p q 非p p且q p或q 非q √ √ × √ √ × √ × × × √ √ × √ √ × √ × × × √ × × √ 6．正面词： 是 一定是 都是 至多一个 至少一个 否定： 不是 一定不是 不都是 至少2个 一个也没有 正面词：任何 所有 至多有n个 至少n个 任意2个 p或q p且q 否定：某个 某些 至少有n+1个 至多n-1个 某2个 非p且非q 非p或非q 7．四种命题： 原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： 原命题逆否命题，逆命题否命题 原命题真逆命题真 8．反证法：至多、至少问题、不可能问题 9．充要条件：A是B的 （1）充分不必要条件：AB （2）必要不充分条件：AB （3）充要条件： （4）既不充分也不必要条件：AB 注：①倒装句：A的充分不必要条件是BB是A的充分不必要条件 A的必要不充分条件是BB是A的必要不充分条件 ②集合观点：ABA是B的充分不必要条件 BAA是B的必要不充分条件 第二章 函数 1．映射： （1）：一对一或多对一 （2）A中每个元素都有象 （3）B中的某些元素允许没有原象 2．一一映射：一对一，B中每个元素都有原象 映射 3×3×3 4×4×4 一一映射 无（一对一） 无 满射 无 3．函数：，， 4．相同函数：定义域、值域、完全相同 5．求表达式的方法 （1）观察法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）方程组法 二、定义域 1．求定义域 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）定义域是或 （10）定义域是或 2．定义域的典型问题 （1）已知定义域是 （2）定义域是D，求定义域 （3）已知定义域是D，则，定义域是E 三、值域 1．图象法 如：，，，或。 2．配方法： 3．分离法： 4．法 5．换元法 （1），令 （2），令 （3），令 （4），令， （5） 令 =t （6），令sinx=t 6．反求法： 7．不等式法 8．几何法：如斜率法，距离法 9．导数法 10．利用单调性，如 11．值域为或 四、函数的奇偶性 1．定义，对于任意定义域 （1）为偶函数 （2）为奇函数 （3）且定义域对称又是奇又是偶函数 （4）是非奇非偶函数 2．奇偶函数定义域必须关于原点对称，即：定义域不对称的函数必然是非奇非偶函数 3．是奇函数，是奇函数，且在时有意义 4．奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，反之亦然（前提是函数） 5．奇（偶）函数在对称区间内单调性相同（反） 6．在公共定义域内：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶 7．任一个定义域对称的函数＝偶+奇 8． 当b=0时为偶函数，当a=c=0时为奇函数 9．下列函数都是奇函数 五、周期函数是常数，对于任意,,称为周期函数，若T是周期，则 六，重要结论 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 七、函数的单调性 1．定义，设任意 （1） （2） 2．证明函数的单调性要用定义 1）设 2）作差 3）变形 4）下结论 3．求函数的单调区间 （1）图象法 （2）复合法 （3）导数法 （4）定义法 4．单调区间是最大范围，不能“并”，如 5．常见函数的单调区间 （1） （2） （3） （4） （5） （0，），（，0） 八，反函数 1．存在条件：一对一 2．求反函数的步骤： 1）由 2）交换 3