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中考数学典型习题讲解（九） 1、在平面直角坐标系中，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是y轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是 （A）（0，） （B）（0，） （C）（0,3） （D）（0,4） 解：过C作CD⊥AB于D，如图，对于直线y=-x+3，令x=0，得y=3；令y=0，x=4，∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，∴AB=5，又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，∴AC平分∠OAB，∴CD=CO=n，则BC=3-n，∴DA=OA=4，∴DB=5-4=1，在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，∴n2+12=（3-n）2，解得n=，∴点C的坐标为（0，）．故选B． 、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是 cm． 解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x-2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x-2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=． 、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由 解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=BC=。又∵OB=2，∴。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则。∵D和E是中点，∴DE=。 4、如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上，若AB=6m，AD=4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米。（1）求S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，S有最大值？请求出最大值。 解：（1）∵四边形AMPQ是矩形， ∴PQ=AM=x，∵PQ∥AB， ∴△PQD∽△BAD，∴，?∵AB=6，AD=4，∴DQ=x，∴AQ=4-x，∴S=AQ·AM==-x2+4x（0＜x＜6）；（注：不写自变量取值范围不扣分，若写错则扣1分）（2）∵，又-＜0， ∴S有最大值，∴当x=3时，S的最大值为6，答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米。 、如图，反比例函数y= 的图象经过点A（- ，b），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为 ．(1)求k和b的值． (2)求直线y=kx+b与两条坐标轴所围成的三角形的面积。 (3) 若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AO：AM的值． 解：（1）∵AB⊥BD，A（-，b），∴S△AOB=AB?BO=，即b?|-|=|=，解得：b=2，又∵点A在双曲线y=上，∴k=2×（-）=-2； （2）所求的三角形的面积是 （3））∵A（-，2），在直线y=ax+1上∴2=-a+1　解得：a=-∴y=-x+1，当y=0时，x=，∴M（，0），∴AO=，AM=，∴AO：AM=：4， 、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F． （1）求证：△ABF≌△ECF （2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形． 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD．∴∠ABF=∠ECF. ∵EC=DC, ∴AB=EC． 在△ABF和△ECF中，∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC， ∴△ABF≌△ECF． （2）解法一：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∴AF=EF， BF=CF． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF．∴FA=FB． ∴FA=FE=FB=FC, ∴AE=BC．∴口ABEC是矩形． 解法二：∵AB=EC ，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D=∠BCE． 又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠BCE， ∵∠AFC=∠FCE+∠FEC，∴∠FCE=∠FEC．∴∠D=∠FEC．∴AE=AD． 又∵CE=DC