数学建模中的统计分析问题(样本比较.docVIP

编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 白血病临床治疗的统计分析问题 摘要 问题重述 为研究某药物6-MP是否有治疗以缓解病痛的作用，研究者在持续1年的急性白血病治疗的临床试验中，将42位急性白血病患者（进入项目的时间有先后）随机地分成两组（各21人）。对一组病人用药物6-MP治疗以缓解病痛，而另一组病人用安慰剂。安慰剂的外形和颜色与药物完全相同，但不含任何药物，病人自己并不知道实际服用的是药物还是安慰剂。研究者记录下每个病人病痛缓解的持续时间（以周为单位），持续时间越长则疗效越好。数据见表1。 表一：处理组和控制组各21人的病痛缓解的持续时间（周） 处理组（使用6-MP）21人 6，6，6，7，10，13，16，22，23，6+，9+，10+，11+，17+19+，20+，25+，32+，32+，34+，35+， 控制组（使用安慰剂）21人 1，1，2，2，3，4，4，5，5，8，8，8，8，11，11，12，12，15，17，22，23 表1数据后面有+者表示，当项目结束时缓解仍在持续。例如，处理组中的20+表示：该病人在项目结束前20小时进入临床治疗，使用6-MP后，缓解持续到项目结束。因此，该病人的实际缓解持续时间至少为20周，很可能大于20周。这种数据在统计学中称为删失数据。 我们需要回答的问题是： 问题1. 6-MP能否显著延长缓解的持续时间？ 问题2. 如果问题一不能得到肯定的回答，则对该药物没有必要进一步研究；反之，如果结论是肯定的，预测以后的病人在使用6-MP后的缓解持续时间的有关参数，对6-MP的效果给出有足够置信度的量化评估。 模型假设 假设在项目期间的食物，生存环境，其他药物等外界因素对6-MP药效及病人病痛无影响假设在项目期间各个阶段病人的6-MP药物服用量充足，治疗方式恰当假设在项目期间无其他病痛误判，粗心等原因引起数据记录失误。 完全与不完全数据：一部分研究对象可观察到死亡，从而得到准确的生存时间，所提供的信息是完全的，称为完全数据；另一部分病人由于失访、意外事故、或到观察结束时仍存活等原因，无法知道确切的生存时间，它提供了不完全的信息，称为不完全数据（截尾数据、删失数据）。 生存分析：生存时间一般是通过随访收集。不完全数据提供了部分信息。须要用专门的方法进行统计处理，这类统计方法起源于对寿命资料的统计分析，故称为生存分析。 死亡概率：指已活满t时刻的个体，在此后一段时期内（t至）死亡的可能性。 生存概率：表示在某单位时段开始时存活的个体到该时段结束时仍存活的可能性大小。 问题分析 本文研究者在持续1年的急性白血病治疗的临床试验中，对42位急性白血病患者随机均等地分成两组，一组病人用药物6-MP治疗以缓解病痛，而另一组病人用安慰剂。通过对两组病人病痛缓解的持续时间进行对照比较分析，从而研究某药物6-MP是否有治疗以缓解病痛的作用。 此问题可以转化为生存分析问题，即每个病人的缓解时间可以看每个成个体的寿命，从而可以采用生存分析的相关知识对问题进行分析求解。 由已知可知，每个病人进入项目试验的先后顺序不同，缓解病痛的时效也不同（如图一所示）。 图一：病人的缓解持续时间 通过对表1数据的分析，我们发现有些数据后面有+者表示，当项目结束时缓解仍在持续，这种数据在统计学中称为删失数据，又称截尾数据和不完全数据。对于这类数据的处理，如果我们丢弃删失数据只考虑确切数据，则会损失大量的信息；若将删失数据当作确切数据处理，则会低估了生存时间的平均水平。 用统计学的术语，白血病缓解效果的分析是一个“两样本比较”问题，一般用两正态样本均值比较的t检验。但现在由于样本分布未知，而且在时间数据的分析中，由于数据分布有很大的偏度，正态分布是一个“坏”的模型。又因为数据是不完全的（有删失数据），常规的、用于完全数据的分析方法不能简单套用。 所以我们引入生存分析这一概念对本文进行分析求解。 生存时间经常服从的基线分布有指数分布、Weibull分布、对数正态分布、对数logistic分布和Gamma分布。由于缓解持续时间不长，因此年龄、体质等可能影响缓解持续时间的因素作用不大，可以认为在任何时刻缓解持续的结束是随机的。又指数分布具有恒定危险率的特点，所以可假设生存时间服从指数分布,由次进行检验。 对于问题二，要预测持续时间参数，则先要给出其相关的参数，在对其置信区间进行预测。 模型建立与求解 问题一的模型 参数回归模型 本案例中样本容量不大，我们事先根据其生