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08级计算方法实验报告 实验二：线性代数方程组的解法 班 级 勘查08-2 姓名 学号 一、上机题目： 用Gauss消去法和Gauss列主元消去法，和LU分解法求解方程组 二、目的要求： 熟练掌握Gauss消去法求线性方程组的根及其程序设计，从而实现线性方程组的求解。 熟练掌握Gauss列主元消去法求线性方程组的解及其程序设计，从而实现线性方程组的求解，并且明白Gauss消去和Gauss列主元消去法的不同，和它的优点。 熟练掌握LU分解法求线性方程组的解及其程序设计，从而实现线性方程组的求解，以及LU分解与Gauss消去的不同。 三．方法原理： 1、Gauss消去法的基本思想是把原方程组化为等价的上三角形方程，然后用回代法求方程组的解。 2、Gauss列主消元法的基本思想是在Gauss消去法的基础上加上选主元的步骤，因为gauss消去法必须满足主元不为0 。 3、LU分解法也是将数组分解为一个上三角和一个下三角数组的乘积，然后利用回代来解。 四．算法步骤（N-S流程图）： （1）Gauss消去法的算法步骤： Step1、不妨设第i个方程的第i个系数不为零，用第一个方程的第一个系数将第二个方程至第n个方程的第一个变量的系数化为零。 Step2、不妨设从第三个方程开始的各个方程的第二个变量的系数不为零，利用第二个方程的第二个变量的系数将从第三个方程开始的各个方程的第二个变量的系数化为零。同理，利用这样的办法进行n-1次消元后方程就可以化为一个上三角的矩阵。 Step3、再利用回代从最后的一个方程开始求解方程组的解即可。 N-S图： IP=1 1=k=n-1 F |akk(k)|ep T k+1=j=n 计算mik存入aik K+1=j=n+1 计算aij(k+1),bi(k+1) IP=-1 F IP=-1 T 2=i=n K=n+1-I,m=k+1 计算∑akj*xj 计算xk 打印IP 返回主程序 (2)Gauss列主消元法的算法步骤： Step1、在消元前先在系数矩阵A的第一列元素中选取绝对值最大的元素为主元素，在进行gauss第一步消去。 Step2、在第二列中选取绝对值最大的元素作为第二步主元素，在进行gauss第二步消去。 …… 这样在每一步的gauss消去之前先进行选主元的过程。然后在进行回代求解即可。 N-S图： IP=1 1=k=n-1 求列主元amk:|amk|=max|aik| (k=i=n) F |amk|ep T F m=k T K=j=n amj -- akj IP=-1 bm(-bm k+1=i=n 计算aik -aik/akk bi-bi- aik*bk k+1=j=n aij ←aij←aik*bk F IP=-1 bn←bn/ann i=n-1,n-2….,1 bi←(bi-∑aij*bj)/aii return （3）LU分解的算法和步骤： Step1:计算u的第一行U1j=aij,(j=1,2…n) 计算L的第一列Li1=ai1/Uir(i=2,3…n) Step2:对k=2,3…n 计算u的第k行 Ukj=akj-∑Lkr*Urj (j=k,k+1..n) 计算L的第k列： Lik=(aik-∑Lir*Urk)/Ukk(i=k+1,k+2….n) Step3:将两个上三角矩阵求出后利用回代过程求方程组的解:L*y=b;Ux=y. Y1=b1; Yi=bi-∑lij*yj(i=2,3..n) Xn=yn/Unn; Xi=(yi-∑uij*xj)/Uii(i=n-1,n-2…1); N-S图： I=1 1=j=n