初中数学一道中考题的拓展与探究.pptVIP

逆向思维，横向拓展 探究： (1)若AG+AE =FH,证明: ∠FAH=450 (2)若S矩形PFCH=2S矩形AGPE， 则∠FAH=450 逆向思维，纵向拓展 * 借题发挥 ——一道中考题的拓展与探究 题目：如图1，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，EF与GH交于点P． （1）若AG=AE， 证明:AF=AH； （2）若∠FAH=450，证明:AG+AE =FH： （3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积． (2009广东省广州市中考数学试卷第24题) 解： (2)将ΔADH绕点A顺时针旋转90度，易证ΔAFH≌ΔAFM,得FH=MB+BF,即：FH=AG+AE (3)设PE=x,PH=y,易得BG=1-x,BF=1-y,FG=x+y-1,由勾股定理，得 （1-x）2+（1-y）2=( x+y-1)2, 化简得xy=0.5, 所以矩形EPHD的面积为0.5 弱化条件，探究结论 探究：若将条件放宽减弱，如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，∠FAH=1\2∠BAD，那么结论BF+HD=FH是否仍然成立？ 如图3保留条件“在四边形ABCD，AB=AD， ∠FAH=1\2∠BAD”。把“∠B=∠D=90°”替换成“∠B+∠D=180”，此时结论BF+HD=FH还成立吗？ 条件不变，探究结论 若∠FAH=450时， 证明：设PE=x,PH=y ∵DH+BF=FH,∴FH=x+a-y ∵∠C=900，所以FC2+HC2=FH2 ∴（x+a-y）2=y2+（a-x）2 整理，得xy=2ax-ay ∴S矩形PFCH=（a-x）y=ay-xy=2ay-2ax=2a（y-x） ∴S矩形AGPE = （a-y）x=ax-xy=ay-ax=a（y-x） ∴S矩形PFCH = 2S矩形AGPE 则S矩形PFCH=2S矩形AGPE 条件与结论互换 探究：把正方形ABCD改为矩形ABCD中，四边形AGPE为正方形，且∠FAH=450时，那么S矩形PFCH=2S矩形AGPE还成立吗？ 证明：如图，连结AP． 则∠FAH= ∠APG=450 ， ∴ ∠PAH+∠AHP= ∠PAF+∠PAH=450 ∴ ∠AHP= ∠PAF ∠APH= ∠APF=1350 ∴△APH∽△FPA， ∴PH:AP=AP:PF ∴ＰＨ·ＰＦ＝ＡＰ２ ∴ S矩形PFCH=2×1＼２ＡＰ２ =2S矩形AGPE 从特殊到一般拓展 探究：若正方形ABCD的边长为a，△BGF的周长也为a，则S矩形PHDE= １＼２a ２。 证明：连结ＧＦ,ＢＦ＝ｘ，ＧＢ＝ｙ． 设则GF=a-x-y ∴DE=a-x,DH=a-y,在Rt △ GBF中， 因为∠B=900 ∴BF2+GB2=GF2,所以x2+y2=(a-x-y)2 ∴ax+ay-xy=1\2a2 ∴ S矩形PHDE=(a-x)(a-y)=a2-(ax+ay-xy)=1\2a2 命题：在矩形ABCD中，若四边形AGPE为正方形，且∠FAH=450时，那么S矩形PFCH=2S矩形AGPE。 正方形ABCD的边长为a，点E.F分别在BC,DC边 延长线上，∠FAE=45 0． （1）若CE=CF，证明：①AE=AF ② S△CEF=a2． （2）让∠FAE绕点A旋转一定角度,使CE≠CF时， 则△ CEF的面积是否发生改变．如不改变，请证明； 如改变，求改变后的△ CEF面积． 综合变式 *