成贤教材-高数B下§10.1 第一型曲线积分的计算.docVIP

§10.1 第一型曲线积分 10.1.1第一型曲线积分的概念和性质 设曲线形物体在平面上占有可求长曲线L，其线密度为连续函数，求该物体的质量m。 （1）分割 在任取点列，把段， 同时也以表示第i小段弧长。 （2）近似 ，则第段的质量。 （3）求和 。 （4）取极限 令，则。 第一型曲线积分的定义 设L为面内的一条光滑（或分段光滑）的曲线弧，在L上有界。任取点列，把L分为n小段， 同时也以段的弧长。，作和式，设，如果当时，和式的极限总存在，则称此极限为在曲线弧的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分，记作，即 ，其中称为被积函数，L称为积分弧段。 注：（1）当在光滑曲线连续时，存在。 （2）将上述定义推广，可得空间曲线L上的第一型曲线积分： 。 二、第一型曲线积分的性质 1．； 2． 。 简记为. 若是闭曲线，则在的第一型曲线积分记为。 三、第一型曲线积分的计算法 1．设在曲线连续，L的参数方程为，，其中，在上有连续的一阶导数，且，则， 。 2．若方程给出，则取， 。 若方程给出，则取， 。 3．若方程给出，取，则 。 4. 若空间光滑曲线参数方程为 ，，，则， 。 注：（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于参数的定积分计算时，上限必须大于下限。 （2）对来说，是定义在L上的，被积函数中的x，y应满足L的方程，故可利用L的方程化简被积函数。 例1．计算，其中L为抛物线， 直线x轴所围成的曲边三角形的整个边界。 解：， ：，，， ：，，， ：，，， ∴ 。 例2．计算，其中是从沿圆周到处的一段劣弧。 解法1 ：，， 被积函数，， ，。 解法2 ：，，， 被积函数， ，。 解法3：的极坐标方程为，，被积函数， ，。 问：能否选x为参数？ 答：若选参数，则有：，因为不是的单值函数，所以必须把成和（其中点坐标为）两段计算。 例3．计算，其中为球面与平面的交线。 解：：其参数方程为： ， ， ， ∴. 例4．求双纽线L： 的，各点处的密度为该点处纵坐标。 解：。 极坐标方程为， 即， 参数方程为， ， 把的部分，则 。 10.1.4 第一型曲线积分的几何意义 设面上的光滑曲线，其方 程为，在定义连续函 数，它的图形是空间曲线 ：，在柱面之间的曲面的面积就是。 故当时，表示以L为准线，母线平行于，高为的柱面面积。 1 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒