成贤教材-高数B下§9.3三重积分的计算.docVIP

§9.3三重积分的计算 9.3.1 三重积分的概念 设是空间有界闭区域的有界函数， 任意分成小闭区域，其中表示第小闭区域，也表示它的体积。，作和式，，若极限存在，且极限值与分法、的取法无关，则称可积，并称此极限值为的三重积分，记作 ，即 ，① 其中称为体积元素。 当在上连续时，的三重积分必定存在。今后总假定在闭区域连续。 如果表示某物体在点处的密度，该物体所占有的空间闭区域，连续，则是该物体质量的近似值， 。 注1．， 2．（）。 称为直角坐标系下的体积元素。 9.3．2直角坐标系中三重积分的计算 设平行于且穿过闭区域的直线与的边界曲面S的交点不多于两个，把投影到面上，得投影区域，以的边界为准线作母线平行于的柱面，这柱面与S的交线把S分成上、下两部分：：；：， ，且。 过内任一点作平行于z轴的直线，此直线与的交点的纵坐标为和。 先将看作定值，将只看作z的函数，在区间上对z积分，积分的结果是x，y的函数，记为，即， 然后计算在闭区域上的二重积分，， 即—先对z积分（先一后二法 ）。 假如闭区域可用不等式，来表示，把二重积分化为二次积分，则三重积分的计算公式为 。 ② ②式是先对，次对，最后对的三次积分。 注1．若平行于的直线与边界曲面的交点不多于两个，则同样可把投影到面（面）上，得到先对（）的三次积分。 2．若平行于坐标轴的直线与的交点多于两个，则可把分成几块处理。 3．计算三重积分也可化为先计算一个二重积分再计算一个定积分（先二后一法） 设空间闭区域， 其中是用平面z=z截闭区域 所得的平面闭区域，则有 。 例1．把三重积分化为各种次序的三次积分，其中是由平面及锥面所围成的立体。 解：①先对，：。 ， 或； ②先对 ：，。由解得， ， 或； ③先对，：，。由解得， ， 。 例2．计算，其中为三个坐标平面及平面所围成的闭区域。 解：在面上的投影区域为 ：， 。 例3．计算，其中是由椭球面 所围成的空间闭区域。 分析：被积函数中缺变量，用平行于平面去截，其截面是椭圆盘。故用“先二后一法”。 解：空间闭区域可表示为， ，其中D(z)为平面椭圆盘：， ， 故。 课堂练习题： 求，由，及所围成。 解：在面上的投影区域为： 设为由曲面与所围成的封闭区域，求的体积V。 解：两曲面的交线为， ， 当，区域为，面积为； 当，区域为，面积为， 故。 利用对称性简化三重积分的计算 1．设。若对称关于变量x（或z，或y）是奇函数，则；若关于变量x（或z，或y）是偶函数，则三重积分等于其一半对称区域上积分的两倍。 2．设，且对称。若关于变量x，y，z为奇函数，即，则； 若关于变量x，y，z为偶函数，即，则三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。 3．若将x换为y，y换为z，z换为x，积分区域不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分的值，与原积分的值相同。（轮换对称性） 例4．设有空间区域；，则（C ） （A）； （B）； （C）； （D）。 例5．求，其中。 解：∵积分区域对称，且被积函数关于变量x，y，z为奇函数， ∴。 例6．计算，。 解：， 由轮换对称性知：， 三重积分的一般换元法则 定理：设（1）变换T：，把区域一对一的变为； （2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数； （3）， 则。 当行列式在区域的个别点或某条曲线、某张曲面上等于零而在其它点不等于零时，三重积分的换元公式仍成立。 9．3．3柱面坐标系下三重积分的计算 设为空间内一点，并设上的投影P的极坐标为，则称三元有序数组是点M的柱面坐标，其中的取值范围规定为： ，，。 三组坐标面分别为： ，即以z轴为轴的圆柱面； ，即过的半平面； ，即与xoy面平行的平面。 显然： ∵ ∴。 例7．计算，其中由与所围成的区域。 解：两曲面的交线为， 在平面上的投影区域为，在柱面坐标下， ∵积分区域关于平面、平面对称，而被积 函数x，y 分别关于变量x，变量y为奇函数， ∴。 ∴。 例8．一形体和圆柱面所围成，已知其上任一点的密度与该点到成正比，求其。 解：密度函数，则 。 从而在平面上的投影区域为， 在柱面坐标下， 。 9．3．4球面坐标系下三重积分的计算 设空间一点的直角坐标为，从点M向 平面引垂线，垂足为P，令，设与正向的，与正向的，则称三元有序数组是点的球面坐标，其中：，，。 三组坐标面分别为： ，即以原点为心的球面； ，即以原点为顶点，为轴的圆锥面； ，即过的半平面。 。 ∵。 ∴。 例9．计算三重积分，由