成贤教材-高数B下§10.3 第二型曲线积分.docVIP

§10.3 第二型曲线积分 10.3.1第二型曲线积分的概念 1、引例：求变力沿曲线所作的功。 设有一空间力场，连续。 一质点在力场的作用下，沿空间光滑曲 线C从A点移到B点，求力场所作的功W。 分割：在曲线C上依次取点，把曲线段C任意分成n个有向小弧段，第i段弧的长度记为。 近似：，则质点沿曲线C从点移动到时，力场所作的功的近似值为 ，其中是质点在点处沿曲线C的单位切线向量。 求和：质点沿曲线C从点A移动到B时，力场所作的功的近似值为 ， 取极限：令，力场所作的功为。 2、第二型曲线积分的定义设C是向量场所在空间中一条以A为起点，B为终点的有向光滑曲线弧。依次用分点，把任意分成有向小弧段，的长度记为，令，，作和式， 其中是C上点处相应于所给方向的单位切线向量。，和式的极限总存在，则称此极限为向量值函数沿有向曲线C的第二型曲线积分，记作，即 。 可以证明，当在有向光滑曲线C上连续时，必存在。 引例中力场所作的功可以表示为 。 设， ∵， ∴。 ∴， 上式是第二型曲线积分的坐标形式，因此第二型曲线积分也叫做对坐标的曲线积分。 通常将记为，即，称为弧长向量微元。 于是第二型曲线积分的向量形式为。 若C为平面有向光滑曲线弧，向量值函数，则有 。 10.3.2 第二型曲线积分的性质 设，， 1．（线性性）设为常数，则。 2．（积分弧段的可加性）曲线弧由与首尾相接而成，则； 3．（方向性） 若是与曲线方向相反的有向曲线弧，则。 10．3．3 第二型曲线积分的计算 定理 设有向光滑曲线弧C的参数方程为，曲线C的起点A对应，终点B对应，当t单调地由时，动点描出由点A到点B的曲线弧C。 又设向量值函数在C上连续，则 。① 注：（1）当C是平面曲线，其参数方程为，时，则有 。② （2）若平面曲线C的直角坐标方程为，，， 则有 。③ 公式①②③中定积分的下限、上限分别为对应于有向曲线弧C的起点、终点的参数值，下限不一定小于上限。 例1．计算，其中C为抛物线上从点到点的一段弧。 解法1：将所给积分化为对x的定积分来计算。 ，需分段，C=AO+OB， AO：，：； OB：， ：； ∴。 解法2：将所给积分化为对y的定积分来计算。 C：，：。 ∴。 例2．计算曲线积分， 路径C是（1）圆弧AB；（2）折线AOB。 解：（1）圆弧的参数方程为，；。 （2）的方程为，x：，； 的方程为，y：，。 。 从例2看出，虽然沿不同路径，但曲线积分值可以相等。 例3．计算曲线积分，其中积分路径为 在椭圆上，从经第一、二、三象限到点； 在直线上，从点到点。 解：（1）椭圆的参数方程为 ，且起点A，终点B， ∴。 （2）线段AB的方程为：，起点A，终点B，， 。 从例3看出，虽然两个曲线积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径得出的值并不相等。 例4．计算曲线积分，是从点到的直线段。 解：∵直线AB的点向式方程为，∴参数式方程为， 起点A、终点B。 例5．一力场的力的大小与作用点到z轴的距离成反比，方向是垂直地指向z轴，试求当质点沿着平面内的一个单位圆周（圆心为）上从点经第一卦限移动到点时，场力所作的功。 解：设力场中任一点处的力为， 则 设点P在xy平面上的投影为， 则∥。∵， ∴，∴， ，， 单位圆周C的参数方程为，起点M，终点N， ∴。 三、两类曲线积分之间的联系 ∵单位切向量， ∴，，。 ∴。 其中是C在点处对于所给方向的单位切向量的方向余弦。 例6．把第一型曲线积分化为第二型曲线积分，其中C为沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）的弧线段。 解：，，则， ， . 5 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ P