成贤教材-高数B下§7.6 曲面和空间曲线.docVIP

§7.6 曲面和空间曲线 本节以两种方式来讨论空间曲面： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知一个三元方程，研究这方程的图形。 7.6.1球面与柱面 1.球面空间中与一定点等距离的点的轨迹叫球面。 求球心在点，半径为R的球面方程。 设为球面上的任一点，则有，即 ，化简得： 。 ① 球面上所有点的坐标都满足方程①，反之，不在球面上的点，其坐标都不满足方程①，因此，方程①是球面的方程。 当时，即球心在原点的球面方程为 。 ② 例1.指出方程表示何种曲面。 解：， ，方程表示以为球心，3为半径的球面。 2.柱面 动直线L沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。动直线L称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。 现在来建立以面上的曲线： 为准线，为母线的柱面方程。 设为柱面上任一点，过 M作平行于，交面于点 ，由柱面定义可知点。故有。由于有相同的横坐标和纵坐标，故也必满足方程。反之，如果空间一点满足方程，即，故且与必通过，即在过的母线上，于是必在柱面上，因此方程表示平行于。 一般地 方程表示母线； 方程表示母线； 方程表示母线。 以二次曲线为准线的柱面称为二次柱面。 例如：方程表示圆柱面；方程表示椭圆柱面； 方程表示双曲柱面；方程表示抛物柱面。 例2．指出下列方程在空间直角坐标系中分别表示什么图形？ （1） 母线平行于轴的椭圆柱面。 （2） 母线平行于轴的抛物柱面。 （3） 母线平行于轴的双曲柱面。 （4） 母线平行于轴的双曲柱面。 例3．求母线平行于向量，准线为的柱面方程。 解：设是准线上的任一点，则过平行于的直线柱面上，而方程为，其参数方程为 代入准线方程，得 ，故，代入，， 则得所求柱面方程为。 7.6.2 空间曲线 1.空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面与的交线。若曲面与的方程分别为与，则其交线的方程为 ① 方程组①称为空间曲线的一般方程。 例4．方程组 表示上半球面和圆柱面的交线。 例5．方程组 表示圆柱面与球面的交线，它是平面上的一个圆。 注意：表示空间曲线的方程组不是唯一的。 例如也表示同一个圆，一般说来，用两个方程 的组合代替方程之一，仍表示同一曲线。 例6．方程组() 表示两个圆柱的交线L在第一卦限的部分。 此曲线亦可用方程组()表示。 例7．方程组表示在。 方程组表示在。 2.空间曲线的参数方程 空间曲线上动点M的坐标也可以用另一个变量函数来表示， 即 ② 取定一个值时，由方程组②就得到曲线上一点的坐标，通过变动，可以得到曲线上所有的点，方程组②称为曲线参数方程，参数。 例7．设质点在圆柱面上以均匀的旋转，同时又以均匀的线速度平行于的方向上升。运动开始，即时，质点在处，求质点的运动方程。 解：取为参数，质点的位置为 ，作，垂足为， 则从到所经过的角，上升的高度为 ，即质点的运动方程为： 此方程称为螺旋线方程。 也可以用其它变量作参数；例如令，则螺旋线方程为 ， 这时，而参数为。 3.空间曲线在坐标面上的投影 已知空间曲线和平面，从上各点向平面作垂线，垂足所构成的曲线称为曲线在平面上的投影曲线。准线为曲线而母线垂直于平面的柱面称为空间曲线关于平面的投影柱面。投影曲线就是投影柱面与平面的交线。 特殊地，以为准线，母线平行于轴的柱面称为空间关于面的投影柱面，此投影柱面与面的交线称为在面上的投影曲线。 同样可以定义关于面、面的投影柱面和投影曲线。 设空间的一般方程为 ，消去，得，它表示母线平行于轴的柱面方程。 因为柱面方程是由得到的，所以上点的前两个坐标必满足该方程，因此柱面过，故方程所表示的柱面就是关于面的投影柱面。 而方程 就是在面上的投影曲线的方程。 同样，从的方程中分别消去，得到柱面方程与，则与分别是在面和面上的投影曲线的方程。 例8．求球面与旋转抛物面的交线在面上的投影曲线方程。 解：交线L为 (1)－(2)得 ，， （舍去），。 交线也可表示为：， 消去z，得交线关于面的投影柱面方程：。 ∴交线在面上的投影曲线方程是， 它在面上是以（0，0，0）为圆心，2