成贤教材-高数B下§7.1 空间直角坐标系及向量运算的坐标表示.docVIP

第7章 向量代数与空间解析几何 §7.1 空间直角坐标系及向量运算的坐标表示 7．1．1空间直角坐标系 （一）空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 （1）点—坐标原点； （2）三条互相垂直的数轴、、—坐标轴； （3）面、面、面—坐标平面。 2．空间点的坐标 （1）。 （2）：—； —； —。 3．特殊点的坐标 （1）原点O（0，0，0）； （2）坐标轴上的点； （3）坐标平面上的点。 4．卦限 （1）卦限的概念 （2）各卦限中点的坐标的符号 卦限 坐标 一 二 三 四 五 六 七 八 + - - + + - - + + + - - + + - - + + + + - - - - 5．与点分别关于各坐标平面、各坐标轴及原点对称的点的坐标。 解：（1）； （4）； （7）。 6．空间两点间的距离 （1）设，为空间两点，则 。 （2）点到原点的距离。 例1．求点到原点及各坐标轴的距离。 解：，，的垂线，垂足分别为，则它们的坐标分别为，，。则所求距离分别为 ，， ， 。 7．坐标轴的平移 设有两个坐标系，且这两个坐标系的各轴对应平行且指向相同。设点的旧坐标为，新坐标为，新坐标系的原点在旧坐标系中的坐标为，则 或。 §7.2向量及其坐标表示 7.2.1向量的概念 向量：既有方向又有大小的量称为向量。如力、位移、速度、加速度等。 常用有向线段来表示向量。 以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量，记作或。 向量的模：向量的大小，。 单位向量：模等于1的向量。与非零单位向量称为，。 零向量：模等于零的向量。，其方向不定。 负向量：模为相反的向量，。 若方向相同或相反，平行或共线，∥。显然零向量都平行。 不论起点是否一致，若方向相同，模相等，则称相等，记作。即经平行移动后，两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量，本书讨论的向量均为自由向量。 7.2.2向量的线性运算 1）向量的加法与减法 以两个的平行四边形的对角线所表示的向量，称为两向量的和向量，。 若以向量起点，则由的向的和向量。 此法则可以推广到任意有限个向量相加的情形。 减法是加法的逆运算，若，则称的差，或，分别记为或。 将的起点重合，由。 向量加法满足下列运算率 （1）（交换律）； （2）（结合律）； （3）； （4）； （5）。 2）向量与数的乘法（数乘） ，，的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作，且 （1）； （2）的方向 当或时，规定。 数乘向量满足下列运算率 （1）； （2）； （3）；其中都是数量。 （4），， 从而. 3．定理：，则的充分必要条件是：存在，。 例1．试用向量证明：三角形两边中点的连线平行于第三边且为第三边长度的一半。 解：如图，设D是AB的中点，E是AC的中点，则， ∵， ∴∥且。 7.2.3向量在轴上的投影 1）两个向量的夹角 ，，作，规定不超过（设）称为 的夹角，记为，即。 若中有一个是零向量，则规定它们的夹角可在任意取值。 类似地可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角。 2）向量在轴上的投影 设有向量，过，分别作垂直，它们与轴分别交于，则有向线段，称为投影， 记为，即，称为投影轴。 注意：向量是一个数量而不是向量。这个数绝对值等于有向线段长度，这个数的符号由的 方向决定，当 ，其值为正；反向时，其值为负。 向量在轴上的投影，等于该向量的模乘以这个向量与轴的夹角的余弦，即 。 易见，。 由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。 7.2.4 向量的坐标表示 1．向量的坐标 基向量（或基本坐标向量） 与、、的正向同向的单位向量，分别，称为基向量。 向量的坐标表示式 设为空间一点，作向量，分别为点上，上，上的投影点，则在上的坐标，在上的坐标， 在上的坐标，则有 ，同理，。 由向量的加法得 。 称为向量坐标表示式，记作或，其中称为向量。 一般地，设，，使其起点移到，因平移后的向量与原向量相等，故它在坐标轴上的投影，故坐标表示式为： 。 （3）以为起点，为终点的向量的坐标表示式。 解： ++）-++） ++， 得的坐标依次为 ；；，即 。 由此可知，起点不在坐标原点的向量的坐标，恰好等于向量相应的终点坐标与起点坐标之差。 2．向量的模和方向余弦 设非零向量的起点为坐标原点，终点为，则 ，。 的方向可由该向量与三坐标轴正向的夹角（其中，或这三个角的余弦