成贤教材-高数B下§6.3 幂级数.docVIP

§6.3 幂级数 6.3.1函数项级数的基本概念 设为定义在数集上的函数列，则称 ① 为数集上函数项级数。 并称为①的部分和。 在①中，令，则得一数项级数： ② 若②收敛，则称点为函数项级数①的一个收敛点； 若②发散，则称点为函数项级数①的一个发散点。 收敛点的集合称为收敛域。发散点的集合称为发散域。 若的收敛域为B，则，存在。 设，，称为的和函数，记作，。 称为余项，当时，有。 例如函数项级数的收敛域为，和函数为。 例 1.求下列函数项级数的收敛域: （1） （2） 解（1）：这是“正项级数”，由根值判别法 即当，，时，收敛； 当，，时，发散； 当，，时，发散。。 求一般函数项级数的收敛域，应把，先讨论的敛散性。 解（2）：， 当，即时，级数绝对收敛； 当，即时，且时，级数发散； 当，即时，级数成为，发散。 ∴级数的收敛域为。 6．3．2幂级数 ① 称为幂级数，其中称为幂级数的系数。 令，则有 ② ②在。 令，①可化为。 1、幂级数的收敛半径和收敛区间 定理1（阿贝尔定理） 若在点收敛，则对于一切满足，绝对收敛； （2）若在发散，则对于一切满足，发散。 证明：（1）设在收敛，即收敛，则，从而 数列有界，即，使得（）。 故，当时，，等比级数收敛，从而收敛， 即绝对收敛。 （2） 用反证法证之。假设幂级数在而有一点使级数收敛，则由（1）中的结论，级数当时应收敛，这与所设矛盾，定理得证。 阿贝尔定理表明：若幂级数在点处收敛，则幂级数在以原点为中心，为半径的开区间内绝对收敛。 定理2 若幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必存在数，使得 （1）当时，幂级数绝对收敛； （2）当时，幂级数发散； （3）当或时，幂级数可能收敛也可能发散。 的收敛半径，称为的收敛区间。 注：（1）考察了在收敛区间两个端点处的敛散性之后，便可得到收敛域。 （2）若仅在处收敛，则规定； （3）若在整个数轴上收敛，则规定。 定理3 ，则的收敛半径 证明：考察级数的敛散性，， （1） 若，则，即，，从而 绝对收敛；，，发散，从而也发散。故收敛半径。 （2）若，则对一切，有，即知对任何，均 收敛，从而绝对收敛，所以。 （3）若，则对一切，有，从而对，， 所 以发散，故收敛半径。 例1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域。 （1）；（2）；（3） 解（1）：∵ ，∴收敛半径，收敛区间（-1，1）。 当时，幂级数为，∵ ，而收敛，∴收敛。 当时，幂级数为，此级数绝对收敛。∴的收敛域为。 解：令，则得新级数， ∵，∴。 当时，新级数为，∵，，∴收敛。 当时，新级数为，∵，而发散，∴也发散。 ∴新级数的收敛域为，即，故原级数的收敛域为。 （3）解法1：此幂级数缺奇次幂项，即，因此不能直接用公 式求收敛半径。根据比值（或根值）判别法来求收敛半径。 ， 当，即时级数收敛；故收敛半径。 当，原级数化为，发散； 当，原级数化为，发散。故收敛域为。 解法2：设，则得新级数。∵， ∴新级数的收敛半径， ∴当，即时原幂级数收敛，故原幂级数的收敛半径为。 当，原级数化为，发散； 当，原级数化为，发散。故收敛域为。 2、幂级数的运算和性质 设的收敛半径为，和函数为 ，，则当时，有如下运算： （1）加法和减法，① （2）乘法 ② 定理4 若的收敛半径为，和函数为，则 （1），若幂级数在处也收敛，则 。 （2）在内可导，且，③ 逐项求导所得的幂级数与原级数有相同的收敛半。 反复应用这个结论可得：在内具有任意阶导数。 （3）在内可积，且 ，④ 逐项积分所得的幂级数与原级数有相同的收敛。 此外，如果逐项求导或逐项积分后的幂级数在（或）处收敛，则在 （或）处，等式③和④ 仍成立。 例2．求幂级数的收敛域及和函数。 解：， 当，即时，级数收敛，收敛区间（-1，1）。 当时，级数为，这是收敛的交错级数，故级数的收敛域为[-1，1]。 设，， ，， 故，。 注意：幂级数经过逐项求导（或积分），收敛半径不变，但端点处的收敛性可能改变。本例中所对应的级数在内收敛，而原级数在上收敛。 例3．在区间内求幂级数的和函数。 解：设，，且。 ，， ， 当时，，故 例4．求数项级数的和。 解法1：构造幂级数，其收敛域为。 设，则。 ， 。 故所求数项级数的和为。 解法2： ， ∴。 从以上例题可以看出，求和函数经常与求等比