数学建模竞赛2005年D1题论文.docVIP

DVD在线?租赁模型 摘 要： 本文对在线?DVD租赁?中的需求预?测，购买和分配?问题作了深?入详细的分?析，建立了相应?的数学模型?，较好地解决?了这些问题?。并且对模型?和结果进行?了评价和进?一步的分析?。 对问题1，根据网站的?调查结果，推算出10?万会员中愿?意观看这五?种DVD的?人数。由历史统计?数据，通过合理假?设，计算出一张?DVD在一?个月内平均?满足的个数?为1.6人。从而分别预?测出在两种?不同要求下?购买DVD?的数量为： DVD名称?DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 为50%时DVD购?买量 6250 3125 1563 782 313 为95%时DVD购?买量 3959 1980 990 495 198 对问题2，引入倒函数?y=1/x来描述会?员对某种D?VD的偏爱?度，通过线性叠?加和归一化?处理，给出了平均?满意度函数?(目标函数)。通过引入0?-1变量，将一个非线?性约束转化?为线性约束?，从而将模型?转化为0-1规划模型?，利用软件能?很快求出最?优解：最大满意度?为0.825，没有分配到?DVD的会?员为11号?和43号，有9张DV?D没有租赁?出去。并具体列出?了前30位?会员的DV?D分配情况?。 对问题3，建立以总的?DVD购买?数最小、会员满意度?最大为双目?标的规划模?型。通过确定一?级，二级目标，将多目标规?划转化为单?目标；同时将第j?种DVD的?购买量的整?数约束去掉?，求解出最小?购买数为1?78.125张。将最小购买?数作为约束?条件，优化满意度?后，得到最大满?意度为95?%；然后对此时?DVD的购?买量向上取?整，得到总购买?数为186?张。当购买数为?186张时?，会员满意度?达到97%。 本文建立的?模型简单，求解方便。同时通过该?问题的研究?发现： 1）当各种DV?D的数量与?会员的需求?基本均衡的?情况下，每个会员的?租赁要求得?到满足的概?率非常高。 2）一般网站空?闲的DVD?数量会比会?员的在线需?求要大，可考虑采用?手工分配方?法。如果网站现?存的每种D?VD的数量?均大于等于?所有会员对?该种DVD?在线订单数?字为1，2，3的个数之?和，则所有会员?满意度均为?1（即分配到订?单上为1，2，3的DVD?）。 一、问题重述 在线DVD?租赁问题是?顾客通过缴?纳一定数量?的月费成为?会员，就可以享受?订购DVD?的租赁服务?。会员对哪些?DVD有兴?趣，只要在线提?交订单，网站就会通?过快递的方?式尽可能满?足要求。会员提交的?订单包括多?张DVD，这些DVD?是基于其偏?爱程度排序?的。网站会根据?手头现有的?DVD数量?和会员的订?单向会员分?发DVD。每个会员每?个月租赁次?数不得超过?2次，每次获得3?张DVD。会员看完这?3张DVD?之后，只需将DV?D放进网站?提供的信封?里寄回（邮费由网站?承担），就可以继续?下次租赁。请考虑以下?问题： 网站正准备?购买一些新?的DVD，通过问卷调?查1000?个会员，得到了愿意?观看这些D?VD的人数?（表1给出了?其中5种D?VD的数据?）。此外，历史数据显?示，60%的会员每月?租赁DVD?两次，而另外的4?0%只租一次。假设网站现?有10万个?会员，对表1中的?每种DVD?来说，应该至少准?备多少张，才能保证希?望看到该D?VD的会员?中至少50?%在一个月内?能够看到该?DVD？如果要求保?证在三个月?内至少95?%的会员能够?看到该DV?D呢？ 表2中列出?了网站手上?20种DV?D的现有张?数和当前需?要处理的1?00位会员?的在线订单?，具体数据如?表2，如何对这些?DVD进行?分配，才能使会员?获得最大的?满意度？请具体列出?前30位会?员（即C000?1~C0030?）分别获得哪?些DVD。 继续考虑表?2，并假设表2?中DVD的?现有数量全?部为0。如果你是网?站经营管理?人员，你如何决定?每种DVD?的购买量，以及如何对?这些DVD?进行分配，才能使一个?月内95%的会员得到?他想看的D?VD，并且满意度?最大？ 二、模型的假设? 1）假设网站每?一次租赁给?会员的DV?D张数只能?是3张，且每月租赁?次数不得超?过2次。 2）网站不会租?赁给会员未?选择的DV?D。 3）假设会员按?月提交的订?单不作更改?。 4）每个会员对?同一种DV?D每次最多?只能租赁一?张。 5）会员只有把?前一次所借?的DVD寄?回，才可以继续?下一次租赁?。 6）由于网站是?按月收费，租两次和租?一次花费相?同。因此假设每?个会员如果?在当月归还?了DVD，一般同时会?有租赁第二?次的需求。 7）网站在当月?收到会员寄?回的第一次?租赁的DV?D后，在网站能够?满足该