数值分析课件研究生用.ppt

第二章 代数插值 第二章 代数插值 §1 多项式插值问题 §2 lagrange插值多项式 §3 差商及Newton插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条(Spline)插值多项式 内容讲解安排 1. 目的意义：学会用插值的方法进行近似计算 2. 重 点：Lagrange插值、Newton插值、分 段插值及三次样条插值 3. 难 点：三次样条插值 4. 内容分配： 第3次：多项式插值问题及Lagrange插值 第4次：差商及Newton插值 第5次：分段插值——分段线性插值 ——分段Hermite插值 第6次：三次样条插值——三转角算法、三弯矩算法 §1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式 一、线性插值（n=1） 二、抛物线插值（n=2） 三、n 次Lagrange插值多项式 四、插值余项（误差估计） 本节(§2 )要点 §3 差商及Newton插值多项式 一、差商及其性质 二、Newton 插值多项式 本节(§3 )要点 §4 分段插值多项式 4.1 高次插值的龙格现象 4.2 分段线性插值 4.3 分段Hermite 插值 本节(§4 )问题 §5 三次样条插值 5.1 样条(Spline）函数的定义 5.2 样条函数的求解 1. 三转角算法 三次样条函数三转角算法的实现流程 本节(§5-1、2 )要点 2. 三弯矩算法 5.3 三次样条插值函数的误差估计 1. 如果f(x)?C[a,b]，且划分的网格比 5.4 三次样条插值函数的程序设计 1. 三对角方程求解的追赶法 本节(§5)问题 练 习 二 2-4 设 f(x)∈C2[a,b] ，且 f(a)=f(b)=0 ， 其中 证明 2-5 利用 在 x=100,121,144点的函数值，用插值方法求 的近似值，并由误差公式给出误差界，同时与实际误差作比较。 2-6 在 -4≤x≤-4 上给出f(x)=ex 的等距节点函数表， 利用与距离最近的三点作二次插值作为的e2 近似，使其误差不超过10-6，问函数表的步长应多少？ 2-7 证明n阶差商有下列性质 (1) 若F(x)=f(x)+g(x) ，则 F[x0 ,x1 ,…,xn] =f [x0 ,x1 ,…,x n]+ g [x0 ,x1 ,…,x n] （2）若 f(x) ∈Pm (m次多项式), m≥ n 则 f[x0 ,x1 ,…,x n-1 ,x] ∈ Pm-n. 2-8 f(x)= x5+4x4+3x+1 ,求差商 f [20,21,..,25 ] 和 f[20,21,..,26] . 2-9 设 f(x)=x5+x3+1 ,取x0=-1,x1=-0.8, x2=0, x3=0.5, x4=1 , 试作出 f(x) 关于 x0, x1, … ,x4 的差商 表,给出 f(x) 关于x0, x1, … ,x4 的Newton插 值多项式,并给出插值误差。 2-11 给定插值条件式f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1,分别求出边界条件为 或 的三次样条函数的分段表达式。 2-10 设 f(x)=x4+2x3+5 ，在区间[-3,2] 上对节点 x0=-3, x1=-1,x2=1,x3=3 ,求出f(x) 的分段三次 Hermite插值多项式在每个小区间[xi ,xi+1]的表达式及误差公式。 在等式 两边同除以 得到 令 得到 结合得到 与 将 并将 表示为矩阵方程： (2.6) 其系数矩阵称作周期三对角矩阵，也是严格对角占优 ，因而方程组有唯一解。 Step1: 输入节点x0 ,x1 ,…, xn ,函数值y0 ,y1 ,…, yn、 边界条件及 x. Step3: 根据边界条件，求解相应的方程得到 m0 , m1 , … , mn Step2: 计算 Step4: 判断 x∈[x i-1 , xi ] ? Step5: 计算 y≈ si(x) Step6: 输出 y 三次样条函数曲线图 设 例2-4 已知函数y=f(x