3.1 一维波动方程的初值问题 数理方程课件.pdfVIP

第三章 波动方程的初值问题与行波法 一维波动方程的初值问题 本节思路: 2 无界弦的自由振动(utt = a uxx , −∞ x +∞): 经非奇异变换化为标准型后直接积分得通解, 代入初始条件得特解（达朗贝尔公式） 2 无界弦的受迫振动(utt = a uxx + f, −∞ x +∞): 由叠加原理分解为: 齐次问题+零初值的非齐次问题（由齐次化原理得解） 2 半无界弦的振动问题(utt = a uxx + f, 0 x +∞): 以某种方式延拓f 及初始函数, 转成无限长的弦的振动, 求出解后限制在半无界区域上. 无界弦的自由振动 在上一章所提的弦的微小横振动问题中, 如果弦未受到任何外力作用, 而且我们只研 究其中的一小段, 那么在不太长的时间里, 两端的影响都来不及传到, 不妨认为两端都不存 在, 弦是“无限长” , 于是可提出下面的定解问题  2 u(t) = a uxx , − ∞ x +∞, t 0, (3.1.1)  u(x, 0) = ϕ(x), u (x, 0) = (x), − ∞ x +∞, t 其中ϕ(x), (x)分别表示初值位移和初始速度. 1. 泛定方程的通解 dx 2 2 dx 采用第2.1节中的方法, 特征方程为( ) − a = 0, 特征线方程为 = ±a, 其通解（特征 dt dt 线）为x + at = C , x − at = C , 作变换 1 2  ξ = x + at,  η = x − at, 则 u = u ξ + u η = u + u , x ξ x η x ξ η u = u ξ + u η = a(u − u ), t ξ t η t ξ η uxx = uξξ ξx + uξη ηx + uηξ ξx + uηη ηx = uξξ + 2uξη + uηη , 2 u = a(u ξ + u η − u ξ − u η ) = a (u − 2u + u ) tt ξξ t ξη t ηξ t ηη t ξξ ξη ηη 代入(3.1.1) , 得 1