第十章曲线积分与曲面积分第十章第3节格林公式及应用2章节.pptVIP

一、曲线积分与路径无关的定义 证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 内容小结 思考与练习 2. 设 * G y x o B A 如果在区域G内 二. 平面曲线积分与路径无关等价条件 定理2. 设D是单连通开区域 , 在D 内具有一阶连续偏导数 , (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 (3) (4) 在D内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分, 即 (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线,则 (3) 在D内是某一函数 的全微分, 即 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 。 。 。 和任一点B( x , y ) , 与路径无关 , 设 (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 在D内每一点都有 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (4) 在D内每一点都有 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 (如图 ), 因此在 上 利用格林公式 , 得 二. 平面曲线积分与路径无关等价条件 定理2. 设D是单连通开区域 , 在D 内具有一阶连续偏导数 , (1) 沿 D 中任意分段光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分 (3) (4) 在D内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分, 即 说明: 若在某区域内有 则 (2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, (3) 求全微分 Pdx+Qdy 在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 (1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 解：因为 即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 其参数方程为 例2. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x,y) 使 。 。 例3. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数, 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 。 。 。 。 或 故积分路径可取圆弧 例4. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的 功W. ( 其中 ) 解: 令 则有 ?曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关, 思考：积分路径是否可以取 为什么？ 设函数 平面上具有一阶连续偏导数， 曲线积分 与路径无关，并且对任意t恒有 解：由积分与路径无关的条件知 两边对t求导得 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线L 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数 , 则有 1. 设 且都取正向, 问下 列计算是否正确 ? 提示: 时 求 提示: * * *