教学章节第五章导数与微分5微.docVIP

§5微 分 教学章节：第五章导数与微分——§5微 分 教学目的：（1）准确掌握微分的概念，明确其几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分. （2）弄清可导与可微之间的一致及其相互关系，熟悉微分的运动性质和微分法则，牢记基本的初等函数的微分公式，并熟练进行初等函数的微分运算. （3）能利用微分的几何意义等解决一些实际应用的计算问题. 教学要求：（1）清楚地理解函数在一点的微分的定义，并给出其几何解释；能从定义出发求某些简单函数的微分、能熟练运用基本微分表和微分运算公式求初等函数的微分.（2）明确函数在一点可导性与一点可微之间的一致性，并会利用导数为微分、利用微分求导数.会应用微分的实际意义解决某些计算问题. 教学重点：微分的定义、计算、可导与可微的关系 教学难点：运用微分的意义解决实际问题 教学程序： 一、微分的概念 1．引言 先考察一个具体的问题，推得一般情形. 2．微分的定义 定义1函数y=f(x)定义在点的某邻域内.当给一个增量，时，相应地得到函数的增量为.如果存在常数A，使得能有 （1） 则称函数f在点可微，并称（1）中右端第一项为f在点的微分，记作： or 定义2 若y=f(x)在区间I上每一点都可微，则称f为I上的可微函数.函数y=f(x)在I上任一点x处的微分记作 注（1）依赖于x和，但x与无关； （2）可微与可导的关系见下面的定理. 定理函数在点可微的充要条件：函数在点可导，且 . 证明：必要性, 设在点可微，即 则当时，故存在，且. 充分性,设在点可导，即存在. 则，或，即 故在点可微，且. （3）令，,,即自变量的微分是，所以. 从这可看出符号的合理性，从而导数也称为微商，即两个微分之商. （4）对可导函数y＝f(x)，其微分为.例： ；； （5）对可导函数y=f(x)，有，从而有，即函数的导数是函数微分与自变量微分的商（导数即微商）. 3.微分的几何意义是在局部以直代曲，如图. . 当充分小时，近似地认为等于，即在点局部，可用直线代替曲线. 二、微分的运算法则 （1）；（2）； （3）；（4），其中. 注 在（4）中，由于，.即（4）式：不仅在x为自变量时成立，当它是另一个可微函数的因变量时也成立. 例1求的微分 例2 求的微分 三、一阶微分形式的不变性 考察复合函数，, ,求微分 观察看出 对求微分时，不管是自变量还是函数, 所得结果的形式是不变的，这个性质称为一阶微分形式的不变性.它为一阶微分形式所独有，对高阶微分就不成立了. 考察函数，其一阶微分，这时，是独立变量，即是和的函数， 这里是一种简单记法，不要误解成.在计算中，把看成常数，得到，一般地可得到，这是阶微分，这对理解记号作为高阶微商，即高阶导数就很自然了. 对高阶微分，我们有 ， ， 如果有复合函数：，，我们有，即一阶微分有形式不变性. 一般地当不是线性函数时，，所以二阶（从而二阶以上）微分没有形式不变性.事实上当且仅当，即线性函数. 微分的定义告诉我们它可以用来做近似计算，这在后续计算方法课程中还要详细讲解. 由于一阶微分有形式不变性，我们有如下微分表： 注（1）；是x的二阶微分（=0）；是的微分（一阶）（＝2xdx）；（2）是n阶导数记法的来由； （3）一阶微分具有形式不变性，对于高阶微分已不具备此性质，以二阶微分为例.若y=f(x)，则（ⅰ）当x为自变量时，；（ⅱ）当x为因变量，如时， 例3 记，，分别用公式（6）和公式（7）求. 四、微分在近似计算中的应用 1．函数的近似计算 前已描述，如果y=f(x)在点可微，则函数的增量，当很小时，有和得到，亦即，当时有（用导数作近似计算公式）. 注（1）要求f(x)在x点的数值，但往往出现以下情况：直接计算f(x)比较困难，而在x点附近一点处的函数值的导数却都比较容易求得，于是可以利用作为f(x)的近似值，x与越接近越精确. 例1求的近似值. 例2计算的近似值. （2）把 （）用于具体函数，可以得到一些常用的近似公式.例如：，，，，…；当|x|很小时，可取=0，此时相应有以下近似公式：，，，. 2．误差估计 实际测量或计算所得的数据，一般都是近似值.要知道这些书记的准确程度，就必须估计这些数据的近似程度，即估计它与准确值的差，这就是误差估计. 一般地，如果一个量A的近似值为a，那么=|A-a|叫作绝对误差，而/a叫作相对误差.而满足式子|A-a|≤的称为绝对误差限，/a称为相对误差限. 实际工作中，有许多量，如体积、面积、电池的功率等，往往不能直接测量出来，而是先测定有关的量，在利用公式计算出所需的量. 例如.要求得圆的面积S，只能测出其直径d，后由S＝f(d)＝算出面积S.由于测量得到的直径d