线性代数教学（清华大学）18.线性空间.pptVIP

* 第十八讲 线性空间 从2维、3维几何空间到一般的 n 维向量空间 Rn, 再到 更加抽象的线性空间. 先把维数从2, 3推广到 n; 再把 n 元有序数组推广成抽 象的元素. 把 n 维向量空间推广成了线性空间. 高度的抽象性是有广泛应用的前提. 定义1 设 F 是一个数集. 如果 F 满足 (1) 1, 0?F; (2) F 对于加法、减法、乘法、除法(除数不为零)运算封闭; 则称 F 为一个数域. 前面讲的几何空间中的向量, Rn 中 n 维向量和矩阵三个 例子有共同之处: 一个非空集合, 一个数域, 两种运算 (加法及数乘)满足八条运算性质. 把一般的规定了这样两种运算, 且满足这样八条运算性 质的非空集合抽象成线性空间. 定义2 设 V 是一个非空集合, F 是一个数域, 如果定义了 如下两种运算, 并且满足后面列举的八条性质, 则称 V 是 数域F上的一个线性空间: 1. 加法运算: ??, ??V, 有?+??V; ( V 对加法运算封闭 ) 2. 数乘运算: ???V, ?k?F, 有k??V; (V对数乘运算封闭) 3. 八条运算性质: ??, ?, ??V, ?k, l?F: (1) ?+? = ?+? (交换律) (2) (?+?)+? = ?+(?+?) (结合律) (3) ???V, ???V, ?+? = ? (?叫零元素, 也记为0) (4) ???V, ???V使 ?+? = ? (?称为?的负元素, 记为-?) (5) 1? = ? (6) (kl)? = k(l?) (7) k(?+?) = k?+k? (分配律) (8) (k+l)? = k?+l? (分配律) 借助几何语言, 把线性空间中的元素称为向量, 线性空间 也称为向量空间. ? 线性空间 V 的简单性质 (1) V 中零向量唯一, 记为 0. 假若 ?1, ?2 都是 V 的零向量, 那么由 ?1 是零向量, 有 ?2 + ?1 = ?2. 又因 ?2 是零向量, 有 ?1+ ?2 = ?1, 于是 ?1 = ?1 + ?2 = ?2 + ?1 = ?2. (2) V 中每个向量 ? 的负向量唯一, 记为 -?. 如果 ?, ? 都是 ? 的负向量, 则 ? = ? + ? = ? + (? + ?) = (? + ?) + ? = ? + ? = ?. (3) 0? = ?. 由?+0? = 1?+0? = (1+0)? = 1? = ?, 两边同时加-?, 有 0? = 0?+? = 0?+(?+(-?)) = (0?+?)+(-?) = ?+(-?) = ?. 定义2 (5) 1? = ? (6) (kl)? = k(l?) (8) (k+l)? = k?+l? (分配律) 性质 (1) V 中零向量唯一, 记为 0. (2) V 中每个向量 ? 的负向量唯一, 记为 -?. (3) 0? = ?. (4) (-1)? = -?. 由定义2(8)和性质(3)有 ?+(-1)? = 1?+(-1)? = (1-1)? = 0? = 0, 所以由性质(2)有 (-1)? = -?. (5) k? = ?. 由性质(3)和定义2(6)有 k? = k(0?) = (k0)? = 0? = ?. (6) 若 ka = ? ，则 k = 0 或 a = ?. 若 k ? 0, 则由性质(5)和定义2(5)和(6)有 ? = 1? = (k-1k)? = k-1(k?) = k-1? = ?. ? 线性空间的例子 例1 二维向量空间 R2 = ?(x, y)T?x, y?R? 是实数域 R 上的 线性空间. 例2 设 V = {(x, y) | x, y?R}, 定义 V 中两种运算如下(注意 它们不是二维向量空间中所定义的运算): (x, y)+(z, w) = (x+z, 0) k(x, y) = (kx, 0) 不存在 ? = (a, b)?V, 使得 ???V, 有 ?+? = ?(即不存在 零元素), 故 V 相对 V 的上述两种加法及数乘运算不构成 R 上的线性空间. 例3 全体 n 阶实可逆矩阵