微积分B教学（扈志明）第5周讲课提纲（连续函数）.pdfVIP

（工科）第5 周讲课提纲 第 1 页 共 15 页 Created by huzm P96 1 （2 ）（4 ）（6 ），3 （连续概念） P104 2 ，4 ，5 （连续性质） P109 3 ，4 （一直连续性） 第第 3 章章 连续函数连续函数 第第 章章 连续函数连续函数 §3.1 连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质 连续函数的概念与性质连续函数的概念与性质 简述：连续是一种很普遍的现象．生活中的时间、物理中的运动、自然界动、植物的生长、 几何中的曲线等都是连续的典型例子．对于一般的函数，连续指的是函数在一点一点处的某种性 一点一点 质． 一、函数的连续与间断一、函数的连续与间断 一、函数的连续与间断一、函数的连续与间断 1．连续与连续点的定义．连续与连续点的定义 ．连续与连续点的定义．连续与连续点的定义 定义：定义：设函数f (x) 在x 及其附近有定义．若lim f (x) =f (x ) 成立，则称函数f (x) 在x 定义：定义： 0 0 0 x→x0 连续连续，x 称为函数f (x) 的连续点连续点． 连续连续 0 连续点连续点 Note1 ：连续定义的等价形式：lim ∆f (x ) =0 ． 0 ∆x→0 Note2 ：ε−δ形式：∀ε 0 ，∃δ 0 ，使得当x−x δ 时，总有f (x) −f (x ) ε 成立． 0 0 Note3 ：lim f (x) 存在是说明：当x →x 时，f (x) 越来越接近一个固定值，而连续是说这个 0 x→x0 固定值就是f (x ) ． 0 x, x ∈Q, Note4 ：函数的连续性是点性质，例如：f (x) = 只在x =0 处连续． −x, x∉Q  （本例也说明了函数的连续性与几何上的不断开并不等价） Note5 ：连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即lim f (x) =f (x ) =f ( lim x) ． 0 x→x0 x→x0 Note6 ：函数定义域的孤立点不谈连续性，例如： f (x) = x + −x 和g(