微积分B教学（扈志明）第8周讲课提纲（图形与极值、泰勒公式）.pdfVIP

（工科）第8 周讲课提纲 Page 1 of 21 Created by Huzm 说明：说明 ：本部分内容需要本部分内容需要 6 个学时．个学时． 说明说明 ：：本部分内容需要本部分内容需要 个学时个学时．． P164 6 （1）（3 ）（函数不等式）， P183 1 （2 ），2 （3 ），3 （极值、最值） P195 1 （4 ），3 （4 ）（凸性、拐点、作图） P212 1 （1）（5 ），3 （2 ）（Taylor 公式） §5.3 函数的图形与极值问题函数的图形与极值问题 函数的图形与极值问题函数的图形与极值问题 （单调性与极值、凸性与拐点、渐近线）（教材§5.3，§5.4） 一、函数的单调性一、函数的单调性 一、函数的单调性一、函数的单调性 定理定理(严格单调的充分必要条件) ：若函数f (x) 在 a[, b] 上连续、在(a, b) 内可导，则f (x) 定理定理 ′ ′ 在 a[, b] 上严格单增的充分必要条件是：f (x) ≥0 且f (x) 在 a[, b] 的任意子区间上不恒为零． 证明：必要性证明：必要性．因为函数f (x) 单调递增，所以 证明：证明：必要性必要性 f (x +∆x) − f (x) 0 ． ∆x 根据极限的保号性质及导数定义， ′ f (x +∆x) − f (x) f (x) = lim ≥0 ． ∆x→0 ∆x 若f (x) = 0 在 a[, b] 的某子区间上成立，则函数f (x) 在此子区间上恒为常数．这与条件′ 矛盾． 充分性充分性．由f (x) ≥0 知函数f (x) 在 a[, b] 上单调不减．若存在x x ，使得′ 充分性充分性 1 2 ′ f (x ) = f (x ) ，则函数f (x) 在子区间 x [,x ] 上恒为常数，从而f (x) 恒为零．这与条件矛盾． 1 2 1 2 8