微积分考题（清华大学）微积分2期末试题05年.docVIP

微积分2期末试题（05年6月16日）（A卷） 班级 学号 姓名 总分 一 填空题16分（每题4分） 1．的“”定义是：对任意，存在，使得对任意满足的，有。（答案只要和定义等价，例如有些地方可以用带等号的不等式定义。） 2． 幂级数的收敛域是 。 3． 级数与级数都收敛的充分必要条件是常数满足 。 4．设是周期为4 的函数，它在区间上的定义为， 则的傅立叶级数在处收敛于 。 二 选择题16分（每题4分） 5．数列不收敛于的充分必要条件是[ ] 对于任给，满足的只有有限项； 对于任给，总有相应的，； 存在某个，中必有无穷多项满足； 存在某个，中除了有限项外都有。 6． 对任意，在连续，则必有 [ ] 在一致连续； 在非一致连续； 在连续； 在连续。 7． 设，，下列叙述正确的是[ ] 在上不可积，在上可积； ，在上都不可积； 在上可积，在上不可积； ，在上都可积。 8．设级数条件收敛，将其中的正项保留，负项改为0，组成的级数记为；将 中的负项保留，正项改为0，组成的级数记为，则[ ] 与必定都收敛； 与必定都发散； 与中必定有一个收敛，另一个发散； 以上三种情形都可以发生。 三 解答题与证明题 9（10分）．设，证明数列的极限存在，并求此极限。 证明：由得且 ， 又 ， 单调递增有界，利用极限存在准则，数列的极限存在。---------（5分） （其中证明单调性可占3分） 设，则 ，而且单调递增 故舍去于是有。-------------------------------------------------------（5分） 10（12分）．求级数的和。 解：显然级数收敛，故=，也即=。（这一步不是必须的，只是简化作用。）------------------------------------------------------------------（1分） 下面计算。考虑幂级数，并令。---------（3分） 显然幂级数的收敛半径为1，在区间（-1，1）内可以逐项积分。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------（2分） 故，-----------------------（3分） 从而，。----------------------------------------（2分） 故。于是=。--------------------------（1分） 11（14分）．把下列函数展开为幂级数并指出收敛域。 （1）； 解 ----------------------------------（5分） 当时，是莱布尼茨交错级数，因而收敛 所以 为收敛域----------------------（4分） （2）把展开为幂级数。 。---（5分） 12（12分）．证明定理：如果存在一个收敛的正项级数，使得对所有的，都有 ，则函数项级数在上一致收敛。 证明：收敛，，…………4 从而 ……6 从而 …….8 根据Cauchy收敛准则，级数 在区间一致收敛。…………………….12 13（12分）．设函数以2为周期， 当时 求的Fourier级数。 解：由定义，的Fourier级数为，--------------（２分） 其中 当；(4分) ；----（4分） 最后。--------------------------------------------------------------------------------（２分） 所以的Fourier级数为 。 14（8分）．证明函数项级数在区间不一致收敛。 5