微积分考题（清华大学）微积分2005年 6 月 20 日6.docVIP

清华大学本科生考试试题专用纸 考试课程 微积分2 2005年 6 月 20 日 姓名 学号 班级 一、选择题（每小题４分，共２０分） 1．设正项级数收敛，则　　　　　　　　　　　　　　　　 ［　　］ 绝对收敛；　　　　条件收敛；　　　　发散；　　　　不能确定 2．设幂级数在点收敛，则级数　　　　　　　　　　［　　］ 绝对收敛；　　　　条件收敛；　　　　发散；　　　　不能确定 3．设是一个数列，是任意自然数．下列哪一个条件可以推出是柯西列？［　　］ ；　　　　　　　； ；　　　　　　． 4．若瑕积分收敛，则和的取值范围是 　　　　　　　［　　］ ；　　；　　；　　 5．设在存在二阶导数，且，，（其中是一个正数）．则在的零点个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［　　］ ；　　　　　　；　　　　　　；　　　　　　 二、填空题（每小题４分，共２０分） 6．若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为 　 ［］ 7．设，是的傅立叶级数．则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［　　］ 8．设是周期等于的函数，在区间的表达式为．其傅里叶级数为的和函数为，则等于 　　　　 [ ] 9．已知，收敛，则正数的取值范围是　　　　　　　　　　[　］ 10．设为可导函数，，．若函数列在区间一致收敛，则　　 　　　　　　　　　　　　　　　　［　］ 三、解答题（共60分） 11．(12分)用比阶判别法证明反常积分收敛，然后计算．　　　　　　　　　 对于，，所以收敛；　　　　　　　　　　　　　　　　　 对于，，所以收敛； 结论：原积分收敛。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12．(10分)写出的马克劳林级数（即在点的泰勒级数），求这个幂级数的收敛域．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 幂级数的收敛半径等于１． 当时，幂级数均发散，所以幂级数为．　　　　　　　　　　　 13．(10分)求幂级数 的收敛域，并求该幂级数的和函数．幂级数 的收敛．　　　 求和方法１： ，　　　　　　　　　　　　　 　 ． 于是 ．　　　　　　　 求和方法2： 令，则 ． 于是 , ． 14．(12分)设为任意正数． （1）求函数级数的收敛域；（2）对任意正数，证明在区间一致收敛,指出该函数级数和函数的连续区间．，是正项级数，根据比值判别法得到 ，所以级数收敛域为　　　　　　 　 (2) ．　　　　　　　　　　　　 所以在单调增加, 在单调减少 　 于是 ． 正项级数收敛，于是根据比较判别法推出在区间一致收敛连续，由于正数的任意性，推出函数在连续。 15．(8分)假设在区间存在黎曼可积的导数．求证．．（其中）． 于是 　　　　　　　　　　　 当时，，所以由上式得到 ． 16．(8分)假设正值函数以为周期，在区间黎曼可积．令（），求证级数是收敛的交错级数． 在可积不变号，在连续．由推广的积分中值定理得到 ． 由函数周期性推出 　　　　　　　　　　　　　　　 容易看出单调减少趋向于零．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 显然是交错的，于是由莱布尼茨判别法推出收敛