微积分考题（清华大学）微积分II期中试题和评分标准（2005年）.pdfVIP

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2018-01-31 发布于浙江
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微积分考题（清华大学）微积分II期中试题和评分标准（2005年）.pdf

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1 用肯定的语气叙述limx a 。 n n 解以下两种表述都正确：（1） 0 ，对N ,n N ，使得x a  。 0 0 n0 0 （2 ）存在正数，以及 {x } 的一个子列{x } ，满足x a  。 0 n n n 0 j j 2 用极限的定义证明lim(x 2 1) 5 。 x 2 解不妨设x 2 1 ，这时 | x 2 15 | | x 2 | | x 2 |5 | x 1| 。  2 0 ，取  。只要 x 2  ，就有 | x 15 |5 | x 1| 。因此 5 lim(x 2 1) 5 。 x 2 3 ．用极限的定义证明limf (x) a 0 ，limg (x) ，则limf (x)g (x) 。 x  x  x  解由极限保号性推出，存在正数，使得当时恒有 N 1 | x |N1 a f (x)  (1) 2 M 0 ，N 2 0 ，使得当x N 2 有 2 | g (x) | M (2) a 令N max{N ,N } ．当| x |N 时，(1)和(2) 同时成立，因此只要| x |N ，就有 1 2 |f (x)g (x) |M ．于是limf (x)g (x) ． x  1 2 n 4 ．用夹逼定理求lim( 2  2  2 ) 。 n n n 1 n n 2 n 2n 解： n k 1 2 n n k  2  2  2  2  2 。 k 1 n 2n n n 1 n n