微积分考题（清华大学）微积分II.pdfVIP

微积分II 参考教材： (1) 谭泽光等，《微积分(II)》，清华大学出版社 2003 年 9 月第一版，ISBN 7-302-06917-4/O ·310； (2) 韩云瑞，扈志明，《微积分学习指导》，清华大学出版社 2005 年 5 月第二版， ISBN 7-302-10562-6/O ·446； (3) 张筑生，《数学分析新讲》，北京大学出版社 1990 年 1 月第一版，ISBN 7-301-00846-5/O ·153； (4) 费定晖，周学圣，《数学分析习题集题解》，山东科技出版社 2006 年 10 月第 三版，ISBN 7-5331-0099-9/O ·5 ！内部交流，慎勿外传！ 2nd edition - released on Sep 16th, 2007. 编者注：本笔记中包括很多数学分析的内容，但难度不超出微积分(2)的课程难度， 在时间允许的条件下了解一下对大家有益无害。很多书本上没有的知识(如众多的 Dirichlet 和 Abel 判别法)在实际应用中还是很有用的。但本笔记中也有很多拔得太 高以至于基本上用不到的结论(如最后的“两个有趣的例子”)，对于这些内容大家 还要注意鉴别，想全部看完和记住这些东西还是很困难的，甚至连作者本人也是一 样，现在我就有很多东西看不懂了。:-P 微积分(2)与微积分(1)、(3)不同的地方是对理论和分析的要求极高，经常要证明一 些显而易见的“弱智”结论，奉劝各位：守得住清贫，方可成正果。 本笔记的小部分由课堂笔记整理而成，大部分是本人的课外研究成果。由于水平和 时间所限，难免有各种错误和遗漏(注意，这可不是客套话！:)，有错误和问题欢迎 致信 zhangfang06@mails.tsinghua.edu.cn.(当然，前提是我自己还记得那里是 怎么回事 :-P) 注：对于线性空间 V，若α∈V, β∉V ，则α+β∉V . 否则由 V 对数乘的封闭性知−α∈V ， 由 V 对加法的封闭性知(α+β) +(−α) β=∈V 与β∉V 矛盾。对于本文中的线性空间(一 致连续、常义可积、广义可积、收敛、一致收敛)都有类似的性质，这一点在证明时 不再重复。 1 极限与连续 为书写方便，定义数列的四则运算如下：对于任意两个数列 {a }和 {b } ，定义 n n 1 a ± b c ，c a =±b ；{a }i{b } {c }，c a b ；1/{a } {c } ， . { n } { n } { n } n n n n n n n n n n n cn a n 注意 1 数列有界是收敛的必要不充分条件，数列无界是发散的充分不必要条件(如 n 有界但不收敛)。 {a } {(=−1) } n 注意 2 数列 {a } 无界是 n →∞时 {a } 是无穷大量的必要不充分条件(如数列 n n nπ a n ). 但无界数列一定存在一个当n →∞时是无穷大量的子列。 { n } { sin } 2 注意 3 必须注意定理 1.2.2(极限有界性定理)的推论是充分不必要的。对于收敛数 ∃N ∈ n N 列 {a } 和 {b } ，如果