高中数学解题中的换元法思想及其应用.docVIP

巧用换元法解数学题 文/方锦昌 方法概述 在解数学题时，我们把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这就是换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元；换元的理论依据是等量代换；换元的目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，进而变得容易处理. 换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化. 参数方程的实质就是换元思想，是不同变量之间的等价转化及应用. 所谓参数方程，是指在取定的坐标中，如果曲线上任意一点P的坐标和都可以换元表示为某个变量的函数，即；反过来，对于的每个允许值，由函数式 所确定的点也都在曲线C上，那么方程就是曲线C的参数方程，变量是参变数，简称参数. 常见曲线的参数方程有：(1)圆的参数方程是(为参数)；(2)圆的参数方程是(为参数)；(3)椭圆的参数方程是(为参数)；(4)双曲线的参数方程是 (为参数)；(5)抛物线的参数方程是(t为参数)；(6)过定点、倾斜角为的直线的参数方程是(为参数). 要点归纳 一、换元法在函数与方程中的应用 例1 已知函数且关于x的方程有6个不同的实数解，若最小的实数解是-3，则a+b的值为 A.-3 B.-2 C.0 D.不能确定 解 令，则原方程可化为，它是一个关于t的二次方程.对于t而言，它的解的情况有三种：(1)无解；(2)唯一解；(3)两个不同的解.由函数的图像，可知t与x之间的关系，当t=0时，x存在两个解x=0和x=2；当x=-3时，t=2，并且此时还有另外三个x的值，也能够使得t=2，所以方程的解是4个.对于方程而言，当t=0或t=2时，关于t的二次方程是两个解，而关于x的方程，则刚好有6个解.于是由t=0，得b=0；由t=2，得a=2.所以a+b=-2.选B. 小结 本题通过换元，将不同变量的方程进行转换，然后结合函数的图像，找出相对应的关系. 二、换元法在数列中的应用 例2 已知是数列{}的前n项和，并且=1，对任意正整数n，，设). (1)证明数列是等比数列，求数列的通项公式. (2)设的前n项和，求. 解 (1)上述两式对应相减得 是以2为公比的等比数列. . (2)∵. 又 小结 本题的解答过程实质上是由变形得即为一个等比数列，从而问题可解.这种通过换元，将复杂问题转化为基本的等差数列或等比数列来解决，在数列问题中十分常见. 三、换元法在不等式证明中的应用 例3 已知x 0，y 0，2x + y = 1，求证：. 证明 由x 0，y 0，2x + y = 1，可设，则有. 小结 解答本题时，通过三角换元，将代数形式转化为三角形式，然后利用三角函数的有界性，从而完成不等式的证明. 不等式证明中常见的换元有：(1)若0≤x≤1，则可令x = sin( ()或x = sin2( ()；(2)若，则可令x = cos(，y = sin(()；(3)若，则可令x = sec(，y = tan(()；(4)若x≥1，则可令x =sec( ()；(5)若x(R，则可令x = tan( (). 四、换元法在三角函数中的应用 关于三角函数的最值问题，我们一般是利用其自身的有界性来解决.如果是形如y= sinx+cosx+sinxcosx的情况，则需要进行换元，其方法一般是：设sinx+cosx =t，则sinxcosx = ，再将问题转化为二次函数处理；如果是形如y=asinx+bsin2x的形式，则直接令然后将其转化为二次函数来解决.在换元时，同学们要特别注意变量取值范围的变化情况. 例4 解 ，. 将其. 小结 本题中出现了sinx+cosx和sinxcosx的形式，我们可以设sinx+cosx=t∈(-，]，则有sinxcosx = ，从而使原问题转化为一个二次函数的最值求解问题.这是一种非常典型的题型. 总之，通过换元，我们可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式；通过换元，我们能将不同的知识体系加以沟通和迁移，从而达到化繁为简、化难为易的目的.同学们在平时的学习中要注意加强这方面的训练，以使自己的思维更加开阔，方法更加灵活多样.