高考专题复习思想方法：数形结合(精华版).docVIP

数形结合思想 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合. 【以形助数】 例1、（集合中的数形结合） 已知集合，当，求实数的取值范围. 参考解答：画数轴分析可得. 例2、（函数中的数形结合） 设，当时，恒成立，求的取值范围。 参考解答： 解法一：由，在上恒成立在上恒成立. 考查函数的图像在时位于轴上方，如下图 不等式的成立条件是： 1）； 2）； 综上所述 解法二：由，令， 在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于之间，而直线 对应的的值分别为，故直线对应的. 例3、（方程中的数形结合） 若方程在内有唯一解，求实数的取值范围. 参考解答： 原方程变形为，即， 作出曲线，和直线的图象，由图可知： ①当时，有唯一解； ②当时，即时，方程有唯一解. 综上可知，或时，方程有唯一解. 例4、（不等式中数形结合） 不等式在时恒成立，求的取值范围. 参考解答： 例5、（解析几何中的数形结合） 已知满足，求的最大值与最小值. 参考解答： 对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 来求之.令，则，原问题转化为：在椭圆上求一点， 使过该点的直线斜率为，且在轴上截距最大或最小，由图可知，当直线与 椭圆相切时，有最大截距与最小截距.由 可得，得，故的最大值为，最小值为. 例6、设，二次函数的图像为下列之一，则的值为（） ① ② ③ ④ 例7、线段的两个端点为，直线，已知直线与线段有公共点， 求的取值范围. 参考解答： 不论取何值，直线恒过定点，斜率为，由图与线段有公共点， 需要由直线的位置（绕点）逆时针转动到的位置.在这一转动过程中， 的倾斜角先逐渐增大到（从而的斜率逐渐增大到），绕过轴后，倾斜角 依然逐渐增大，因此其正切值（的斜率）逐渐增大到的斜率，又， 故，即. 例8、已知为椭圆内一点，为椭圆左焦点，为椭圆上一动点， 求的最大值和最小值. 参考解答： 由椭圆的定义知， 即， 【配套练习】 1、方程的解的个数为（） 2、如果实数满足，则的最大值为（） 参考解答： 等式有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径， 如图，表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率. 如此以来，该问题 可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线 的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大， 经简单计算得最大值为. 3、已知函数，若，则的大小关系为. 4、设函数，若，， 则关于的方程的解的个数为（） 5、函数的最小值为（） 6、已知函数在区间内递减，则实数的取值范围为. 参考解答：如图所示，可知对称轴 7、设、分别是方程的根， 则＝. 8、如果关于的方程有两个实数根， 并且， 求实数的取值范围. 参考解答： 令，由题. 9、求函数的值域. 参考解答： 的形式类似于斜率公式，表示过两点， 的直线的斜率，由于点在单位圆上，显然 ，设过的圆的切线方程为，则有 ，解得，即，， 所以，所以函数值域为. 10、已知集合， 求满足下列条件时实数的取值范围. ⑴； ⑵(； 参考解答：画区域分析问题，⑴，⑵ 【高考真题】 1、若集合，集合，且， 则实数的取值范围为. 参考解答： 集合，显然，表示以为圆心，以为半径 的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易 知，欲使，即直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为， 最大值为即. 2、已知（其中），且是方程的两根（）， 则实数，且. 3、点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，表示原点，则（） 参考解答： 设椭圆另一焦点为，（如下图），则，而，因为， 所以，又注意到各为的中点，所以是的中位 线，因此. 4、关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围. 参考解答： 设，可作图得. （数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法， 应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则） 5、已知函数，若且，则的取值范围是. 6、已知，若中仅含有两个元素时， 则实数的取值范围. 参考解答：