过程装备力学基础 第一章 弹性力学基本方法和平面问题解答.ppt

主编 陈旭 主审 蒋家羚 化学工业出版社 2002 本书介绍在“过程装备”设计中所应用的工程力学方面的基本理论和基本知识。包括弹塑性理论的有关内容、圆板理论、旋转薄壳理论，机械振动，疲劳设计, 断裂力学及有限单元法等。 第一章 弹性力学基本方法和平面问题解答 第一节 弹性力学的内容和基本概念 弹性力学的基本假设 物体是连续的 物体是完全弹性的 物体是均匀的 物体是各向同性的 位移和形变是很小的 弹性力学的分类 平面问题的基本理论 直角坐标解答 极坐标解答 温度应力 空间问题的基本理论 薄板理论 薄壳理论 外力 体积力（体力） 表面力（面力） 应力 正应力 剪应力 应变 线应变 剪应变 位移 在垂直x 轴的两个面上应力分别为： 在垂直y 轴的两个面上应力分别为： 在垂直z轴的两个面上应力分别为： 沿x 轴力的平衡方程 化简以后，两边同除 同理，由： 由 对于这一微正六面体的力矩平衡条件同样可以导出剪应力互等定律 它给出了六个应变分量和三个位移分量之间的关系。 在完全弹性的各向同性体内，应变分量与应力分量之间的关系式，也就是物理方程。 式中E是弹性模量，G是剪切弹性模量，是泊松比，这三个弹性常数之间有如下关系： 总 结 平衡方程： F( )=0 几何方程： 位移与应变的关系 物理方程： 广义虎克定律 对于空间问题：15个方程，15个未知量 平面应变问题 2.1 平衡方程 对于平面应力问题， 对于平面应变问题，在z方向还作用有正应力 但 是自成平衡的， 于是，平面问题中的平衡微分方程为： 于是，平面问题中的几何方程为 ： 在平面应力中， ， ， 。 在平面应变问中， ， ， 。 整理得到平面应变问题的物理方程为 提示: 平面应力的物理方程中将E换为 ，换 为 ，就得到平面应变问题的物理方程 . 3.1 位移边界条件 在边界上，应力分量与给定表面力之间的关系—即应力边界条件，可由边界上小单元体的平衡条件得出。 在边界上取出小单元体，它的斜面AB与物体的边界重合，如图所示。用N代表边界面AB的外法线方向，并令N的方向余弦为 由平衡条件 ，得 各项除以ds，并令ds趋于零，则得： 式中 是应力分量的边界值。 同样，由平衡条件 ，得： 在垂直于x轴的边界上，x值为常量， ， ，应力边界条件简化为 在垂直与y轴的边界上，y值为常量， 应力边界条件简化为 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 应力解法 位移解法 混合解法 以应力分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含应力分量的微分方程，由这些微分方程和边界条件求出应力分量，再用物理方程求出应变分量，用几何方程求出位移分量。 以位移分量作为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含位移分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出位移分量，再由几何方程求出应变分量，用物理方程求出应力分量。 同时以某些位移分量和某些应力分量为基本未知函数，综合运用平衡、几何和物理方程，得到只包含这些位移分量和应力分量的微分方程。由这些微分方程和边界条件求出某些位移分量和某些应力分量，再利用适当的方程，求出其它的未知量。 将平面问题的几何方程中的 对y求两次导数， 对x求两次导数后相加，得 等式右边括弧中的表达式就是 。所以 在体力为常量的情况下，将应力作为基本变量求解平面问题时，归结为求解下列微分方程式： 则齐次方程为 非齐次方程特解为 为了求齐次方程通解，可将方程改写为 得到通解