高数暑期强化补充题7.docVIP

例1（华东师大2003）设，讨论数列的敛散性。 解 显然，所以当时，有，又 ， 为方便，记，则有 ， 从而 各式相加，得 ， 而，同理，于是有上界，从而级数收敛，因此收敛，由此知收敛，所以收敛。 例2 求极限。 解 令，则， 因为 ，由迫敛性定理，得=0 。 例3 设在内可导，且任意，有。令，讨论数列的敛散性。 解 方法一 因为 ， 而级数收敛，于是收敛，从而收敛，因此收敛。 方法二 可以考虑数列的Cauchy收敛准则(略)。 例4 设， 讨论数列的敛散性； 求级数的和。 解（1） 显然当时，有，于是数列有界；另一方面 ， 于是数列不变号，即数列单调，由于有界，所以有界，同理单调有界，因此与均收敛，设，，对通式和分别取极限，得，由此可以证明，所以收敛，且可以得到。 注 在考察时，发现是变号数列，因此不单调，转而讨论与的单调性。 （2） 。 例5 求函数在处的幂级数展开式，并计算的值。 解 ，，于是 ， 该级数的收敛域为，尽管在没有定义，但是级数在处收敛到在点的左极限，即 。 例6 设，求级数的收敛半径、收敛域及和函数。 解 分析 如果单单求收敛半径、收敛区间与和函数的表达式，通过的递推公式是不难办到的，但是，如果考虑在端点的收敛性，不考虑是有较大困难的。 因为所对应的特征方程为，解之，得特征根，，设，考虑到，代入，得，于是有，从而收敛半径。 显然，当时，通项的极限不为零，于是在发散，所以幂级数的收敛域为。 当时，有和函数 。 例7 设为区间上的正值连续函数且，求证数列收敛。 证明 由于为区间上的正值连续函数，所以必有最大值，由Cauchy-Schwarz不等式， ， 于是有，即数列单调递增，再由 ， 知有上界，由单调有界定理，知收敛。 例8（武汉大学04） 设函数在上连续，在可导，且，求证存在，使得。 证明 分析 由，即，的系数为1，前面乘，于是应该构造函数。 令，则在上连续，在可导，且，由Rolle中值定理,存在，使得，从而有。 例9 已知随机变量的分布函数为 ， 求的分布律。 解 分6段，有5个跳跃间断点，其余均为水平曲线，因此为离散型随机变量，其取值为的间断点，即，取值的概率为在该点的右极限减去左极限，从而 。 例10 设某商场一天内前来的顾客数，而每个顾客购物的概率为，求一天内购物的顾客数的分布律。 解 ，有 ， 即 。 例11 设为连续型随机变量取值的集合上的正值递增函数，且存在，求证对于任意，有 。 证明 设的密度函数为，考虑到的正值递增性，则有 。 例12 设，求。 解 由于 为不依赖于的常数，于是 。 例13 设独立同分布，，求随机变量的分布律。 解 由于均服从参数为的几何分布，于是 ， 从而 。 例14 设连续型独立同分布，求。 解 由于独立同分布，于是，任何一个随机变量取最大值的概率是相等的，而即中取最大值的概率，由等可能性，得。 例15 将一枚均匀硬币连续掷次，以分别表示正面和反面的次数，求的相关系数。 解 方法一 由条件知，，于是 ， 所以 。 方法二 由于，即具有线性关系，于是。 例16 设随机变量，求。 解 方法一 因为，所以，从而 ， 考虑到 ， 于是。 方法二 因为，设，其中独立且均服从，于是 。 例17 设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，两个总体相互独立，设为任意两个不为零的常数，求证 ， 其中，分别为两个样本的均值，分别为两个样本的样本方差。 证明 由条件知 ， ， 由两总体的独立性及总体的正态性，知，相互独立，于是有 ， ， 由定义 。 例18 设二维随机变量的密度函数为 ， 求的密度函数。 解 ，于是 当时，； 当时， ， （3） 当时， 于是 ， 因此的密度函数为 。 例19 设二维随机变量的密度函数为 ， 求随机变量的密度函数。 解 ， 当时，； 当时， =， 于是 ， 从而 。 例20 设独立，均服从上的均匀分布，求的密度函数。 解 ， 当时，； 当时，； 当时， ， 于是 ， 所以 。 例21 设的密度函数为 ， 分别