高考理科数学典型压轴题(不等式)父老乡亲挺我.docVIP

放缩法证明不等式 所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。“放缩法”可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。 利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。 一、用放缩法证明不等式的基本策略 1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的 分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a，b，c，d是正数．求证： 证明： 又 或 （利用） ∴ 例2、求证： 证明：∵ ∴ 【变式】 ∵ ∴ 本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。 例3、求证： 证明： ∵ ∴ ∴ 练习：求证 证明：∵ ∴ 说明：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。 本题说明：此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。 2、添加或舍弃一些正项（或负项） 例4、已知： 证明： 多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。，从而是使和式得到化简. 例5、证明： 证明： ∴ 【练习】求证： 证明：∵ ∴ 3、利用基本不等式放缩 例6、若，求证： 证明：∵ ∴例7、求证： 证明： 练习：当时，求证： 证明：∵， ∴，且， ∴， ∴时, . 练习：已知对任何正整数都成立. 证明：要证，只要证 . 因为 ，， 故只要证 ， 即只要证 . 因为， 所以命题得证. 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可. 3、逐项放大或缩小 例8、设，求证： 证明： ， ∴ ∴ ， ∴ 本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的 4、放大或缩小“因式” 例9、已知数列满足求证： 证明 本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明. 二、放缩法证明“数列+不等式”问题的两条途径 用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先放缩再求和，二是先求和再放缩。 先放缩再求和 例1 （05年湖北理）已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足 ，证明：， 分析：由条件得：， ……， 以上各式两边分别相加得： = 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 练习：函数f（x）=：f（1）+f（2）++f（n）n+.证明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）++f（n）. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 例2（04全国三）已知数列的前项和满足：， （1）写出数列的前三项，，； （2）求数列的通项公式； （3）证明：对任意的整数，有 分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：（n1） 化简得：， , 故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列. 故 ， ∴ ∴数列{}的通项公式为：. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：， ，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时， （2）当是奇数时，为偶数， 所以对任意整数，有。本题的关键是并项后进行适当的放缩。 先求和再