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模块六 二元函数微积分 课题一 二元函数的微分 课题二 二元函数的积分 解法: 类似定积分解决问题的思想： 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： XOY 面上的区域 D 顶: 曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 Z轴的柱面 求其体积。 “划分, 近似, 求和, 取极限” （1）划分 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 （2）近似 在每个 则 中任取一点 小曲顶柱体。 （4）取极限 令 （3）求和 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 记作 在XOY平面区域 D上的有定义 , 一、二重积分的定义 相关知识 作乘积 令 当λ→0时, 若其极限 存在， 则这个极限值叫做二元函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分 ， ， 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 二重积分的几何意义 根据二重积分的定义，在前述 “课题”中所给出的曲顶柱体在第一卦限内的体积即为 二元函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分 就是区域D上的以函数z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体体积的代数和 。 其中，积分区域D为 在第一象限的部分。 ( k 为常数) 二、二重积分的性质 3.将区域D 分为 ,则二重积分 即，二重积分对于积分区域具有可加性。 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 三、在直角坐标系中计算二重积分 曲顶柱体体积: 且在D上有意义时, 由曲顶柱体体积的计算可知, 则 则 在直角坐标系下二重积分化为二次积分 先对y,后对x 先对x,后对y 例1 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域。 解法1 先对y,后对x 解法2 先对x,后对y 模块六 二元函数微积分 课 题 一 1.掌握二元函数的概念； 2.理解偏导数的概念，会求二元函数的偏 导数； 教学目标 3.理解方向导数与梯度的概念,会计算二元 函数的方向导数与梯度。 课题提出 某工厂准备生产一批体积为5 的密闭长方体容器，试设计出最佳的下料方案（即问选取怎样的长、宽、高尺寸），使得用料最省。 课题分析 设容器的长、宽分别为x、y , 则高为 。 设容器的表面积为z ， 则 这里所得到的是关于一个变量z与另外两个变量x、 y之间的函数关系。 自变量x、y的取值范围称为二元函数的定义域 。 设x、y、z是某一变化过程中的三个变量，如果对于x、y在某一变化范围内每一对确定的值(x,y)，按照某一对应法则，变量z都有唯一确定的值与之对应，则称z是x、y的二元函数，记作 一、二元函数的概念 相关知识 例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 定义域为 圆域 说明：二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面。 的图形一般为空间曲面 ? 。 二元函数 例 设 求 解法1 令 例 设 求 解法2 令 即 则称此极限为函数z=f(x,y)对x的偏导数， 把二元函数z=f(x,y)的一个自变量y视为常数，那么这个二元函数z=f(x,y)就可以看做是它的另一个自变量x的一元函数。 若极限 存在， 记作 或 同理可以定义二元函数z=f(x,y)对y的偏导数， 二、偏导数的概念 解法1 解法2 例 求 在点(1 , 2) 处的偏导数。 二元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值)。 例 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值。 的某一范围内有 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 。 在实际问题中，如果表示实际问题的二元函数在其定义区域内只有唯一的驻点，那么该驻点处的函数值就是所求函数的最大（最小）值。 （必要条件）函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立。 取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 解 设水箱长,宽分别为 x , y ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 例 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是