第五章矩阵的相似对角化.pptVIP

例：设 ，求 An . 分析： 数学归纳法 例：设 ，求 An . 分析： 数学归纳法 因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化． 求得 A 的特征值 l1 = 1， l2 = 3． 下面求满足 P ?1AP = Λ 的可逆矩阵 P ． 下面求满足 P ?1AP = Λ 的可逆矩阵 P ． 当 l1 = 1 时， 解方程组 (A?E) x = 0 ． ，得基础解系 ． 当 l2 = 3 时， 解方程组 (A?3E) x = 0． ，得基础解系 ． 问题：是否需要单位化？ 于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即 ． 若 ，则 ． 于是 ，即 §5.1 方阵的特征值与特征向量 引言 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即 (lEn)An = An (lEn) = lAn ． 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ． 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即 l (AB) = (lA)B = A(lB)． Ax = l x ? 例： 一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 特征方程 特征多项式 特征方程 | A?lE | = 0 特征多项式 | A?lE | 二、基本性质 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann =tr(A) l1 l2 … ln = |A| 这里tr(A)表示矩阵A的迹，其定义为A主对角线上的所有元素的和。 例1：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 例1：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 ，即 解得基础解系 ． k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 例2：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值为 l1 = ?1，l2 = l3 = 2 ． 例2：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = ?1 时，因为 解方程组 (A + E) x = 0． 解得基础解系 ． k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量． 例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解方程组 (A?2E) x = 0． 解得基础解系