第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根).docVIP

第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知Ap×q, Bq×p, 则|Ip+AB|=|Iq+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：，etrA=exp(trA) 性质： 1. ，线性性质； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 为向量； 6. ; 从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明； 7. ,则,且等号成立的充要条件是A=0； 8. ,则，且等号成立的充要条件是A=B（）； 9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个m×n复矩阵A和B，tr(AHB)是m×n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 |tr(AHB)|2≤tr(AHA)﹒tr(BHB) 0≤|tr(AB)|≤ 定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则 0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B) λ1(B)表示B的最大特征值。tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0，又因为 A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B) 推论：设A为Hermite矩阵，且A0，则 tr(A)tr(A-1)≥n 另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。 三、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。 定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A) 性质： 1. ； 2. ； 3. ； 4. ，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。 定理（Sylvester）：设A和B分别为m×n和n×l矩阵，则 Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。 四、相对特征根 定义：设A和B均为P阶实对称阵，B0，方程 |A-λB|=0的根称为A相对于B的特征根。 性质：|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0 (因为B0，所以B1/20) 注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。 定义：使(A-λiB)li=0的非零向量li称为对应于λi的A相对于B的特征向量。 性质： 设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则 A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l) B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量 （转化为求A B-1的特征向量问题）。 设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则 B-1/2AB-1/2l=λl 可得 A (B-1/2l)=λB(B-1/2l) 则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量 （转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。 五、向量范数与矩阵范数 向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。 1. 向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数，并满足以下三个条件： （1）非负性 ，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 （3）三角不等式。 则称为V中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。 例1. ，它可表示成，， 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。 证明： （i）非负性 ， 当且仅当时，即x＝0时，＝0 （ii）齐次性 （iii）三角不等式 ， 根据H?lder不等式： ， 2. 常用的向量范数（