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谈数形结合思想 著名数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体的数学思维过程往往是两者交叉运用、浓缩升华的过程。这就要求我们重视数形结合的数学思想方法，让我们的逻辑思维和形象思维水平得到确实的提高。 首先，让我们来认识一下数学的图形语言。数学的图形语言是一种特殊的数学语言，它对比于符号语言具有“易于理解、便于记忆、利于思考”的特点。不但在几何中大现身手，而且在代数里也大有作为。 1．易于理解 如，不等式的解集，可以在数轴上表达出来。用数轴表示不等式的解集，比较形象、直观。尤其是在解不等式组时，可以将几个不等式的解集表示在同一个数轴上，这样比较容易求出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。 例1．求不等式组 2（x+1）3(x–1)+7 的正整数解。 –≤2 解：由2（x+1）3(x–1)+7得：x-2 由–≤2 得：x≤3. ∴-2x≤3 ∵在-2x≤3的所有实数中，正整数有1，2，3， ∴原不等式组的正整数解是x =1，2，3。 2．便于记忆 如：在二次函数的学习中我们知道，一般的抛物线y=ax2+bx+c都可以由抛物线y=ax2平行移动而得。有口诀：“上加下减，左加右减。”但毕竟比较抽象，如果你在学习时，借助下图所示来记忆，看看效果如何： 现而易见，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状、开口方向都是相同，只是位置不同。（图中的a0。如果a0，也有同样的结论。）结合图形，一目了然，在记忆时起到事半功倍的作用。 3．利于思考 波利亚曾经说过：“有许多重要的事实和思想，本身虽不是几何性质的，但它们最适当的表达方式是通过几何图形、图象和图表。”图象语言具有高度的浓缩性，简简单单却能表达复杂的思想。 如图所示： 其次，数形结合，可以使我们在思维过程中数学的形象思维和逻辑思维交织在一起展开，它们互相渗透、互相启发，使我们的思维方向朝着不同的角度、不同的方向转化，并使之升华。 二次函数图象与一元二次方程的解有着千丝万缕的联系，它们既彼此分离，又可以互相转化。因此，一元二次方程根的情况往往可以转化为二次函数图象与x轴的交点来研究，以数思形，以达到以形帮数的目的。 如：已知抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个不同的交点，（1）能否确定k的取值范围？（2）设该抛物线与x轴的交点为A、B，且点A在原点的左侧，抛物线与y轴相交于点C，顶点为D，若OC=2OB，此时k是否唯一确定？k的值是多少？ 解：(1)∵抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个不同的交点， ∴=4-4k0,得k1. (2)抛物线y=x2-2x+k与x轴的两个交点A、B的横坐标分别是xA=1-，xB=1+.显然，xB0, 故点B在原点的右侧，由题意A点在原点的左侧，则有：1-0且点C在原点的下方，即k0， ∵OC=2OB， ∴2+2=-k 解得k=-8， 由以上可得K唯一确定且为-8。 在这里所说的数，除了指的是实数外，还泛指代数式、等式、不等式、方程、函数等，及其它们的运算。借助于这些运算，我们可以把复杂的几何问题代数化，轻易地解决它。 如：过等腰三角形的一个顶点的一条直线，将它分成两个小的等腰三角形，求这个等腰三角形的各内角。 分析：在这里没有明确这个等腰三角形是锐角、钝角还是直角，所以我们要把各种情况都考虑进去，这样又用到了分类讨论的数学思想。 如图1，分别为90°，45°，45°。 如图2，AB=BD，AD=CD，∠A=α，∠B=∠C=β。 α+2β=180°，∴α=108°，β=36°。 α=3β。 如图3，AD=BD=BC，∠A=α，∠B=∠C=β， α+2β=180°， ∴α=36°，β=72°。 2α=β。 如图4，AD=BD，CD=BC，∠A=α，∠B=∠C=β α+2β=180° =2α， ∴α=（25）°，β=（77）°。 在这里，通过布列方程组，很快解决了问题。 在初三系统复习中，我们可以回头看到，在目前的初中数学教材中，数形结合思想在许许多多的知识点中循序渐进地渗透、孕育、形成、拓展。 课本节数 课本内容 4．1 有理数的意义 4．2 绝对值 4．3 有理数大小的比较 9．2 平面内点的位置与坐标 9．3 二元一次方程的图形 9．6 用图解法解二元一次方程组 10．3 不等式的解集 13．5 单项式乘法 21．4 正比例函数的图象和性质 2