统计物理与热力学课程（陈培锋）第三讲1.pptVIP

一维简谐振子的能级是非简并等间隔的 一维谐振子波函数 特点 一维简谐振子的状态用一个量子数表述 比较经典简谐振子的状态表述 (三)、两粒子组成的刚性转子的量子态与能级 等价于一个质量为μ的粒子在一个半径为re的球面上运动 刚性 中心力场径向波函数 中心力场两体问题化为单体问题 薛定谔方程为 本征函数为球谐函数 J为转动量子数,m为磁量子数 对每一个J,m有2J+1个值 m阶J次Legendre(勒让德)多项式 能级 转动惯量 刚性转子的能级是2J+1重简并的,在物理上对应着转子的角动量向量关于空间固定轴可有2J+1种取向,简并度 中心力场角向波函数 粒子运动状态的量子表述 1、量子化-量子态 2、简并度与量子数对应 3、粒子状态由r个量子数表示 这种表述与经典粒子的状态表述有关系吗？ 三、系统微观运动状态的统一描述 经典力学中，微观运动状态用广义坐标q和广义动量p为正交坐标所构成的相空间中的点描述。在量子力学中微观运动状态用分立的量子态描述。量子统计与经典统计的相互过渡最基本的是量子态与相空间体积的过渡。 测不准关系 粒子的状态不再是一个点,而是具有一定的体积。这个体积多大？ 量子态与相空间体积之间的对应关系 经典力学,粒子是沿着确定的相轨道运动, 在量子化条件下认为粒子可能实现的轨道并不是为经典力学所允许的一切轨道,而只是其中满足量子化条件的那些轨道,可以认为每个量子化轨道占有一定的相空间体积,其关系已被找到并得到了证明： 对于一个自由度为s(或r)的粒子,它的μ空间中大小为hs的相体积(称为相胞或相格)对应一个量子态,或者说每一个量子态“占据”着μ空间中体积为hs的一个相胞,每个相胞对应一个量子态。 注意：这里的量子态不包含自旋。如果考虑自旋的话,还必须计及自旋对量子态的贡献。 在长度为a的一维容器中运动的一维自由粒子 该能级是非简并的,一个能级只有一个量子态。设相邻两能级的量子数为n1,n2, 且n2-n1=1。 对应的 能级 能级 对应的 p1+与p2+所围的相体积 p1-与p2-所围的相体积也为h/2 ,所以相邻能级εn1和εn2之间的相体积为h 长度分别为a、b、c的匣内自由运动的三维平动子 能量0～ε范围内的总量子态数为上式椭球第一象限的体积 括号内正好就是位置空间体积为V、动量空间为0～p范围内的子相空间体积 一维谐振子 以x和p为直角坐标,可构成二维的μ空间 给定振子的能量ε,代表点的轨迹是椭圆 椭圆的面积等于 各能级都是非简并的,相邻能级之差为 故相邻两能级对应于μ空间中的相体积(椭圆壳层的面积)为 相邻两能级之间不存在振子的量子态，所以μ空间中相体积为h的一个相胞对应一个量子态 粒子运动状态量子表述 对于一个自由度为s(或r)的粒子,它的μ空间中大小为hs的相体积(称为相胞或相格)对应一个量子态,或者说每一个量子态“占据”着μ空间中体积为hs的一个相胞,每个相胞对应一个量子态。 四、关于量子态的一些说明1、自旋 基本粒子都有力学量—自旋,是基本粒子的一个固有属性, 与粒子运动状态无关的内禀属性。自旋具有角动量性质,但与轨道角动量有所不同,自旋无经典力学量对应 设一个粒子的自旋为S,意思就是指测量该粒子的自旋角动量沿一确定方向(如外磁场方向)z的分量Sz只能取下列的值 自旋共有2S+1个可能的量子态,ms称为自旋量子数,自旋用一个量子数ms表征,故自由度为1。 S只能取正整数(包括0)或者正的半奇数 2、分子的量子态—运动自由度 在量子力学中,一个分子的量子态(波函数)是薛定谔方程的解 双原子分子,运动可近似分解成平动(t)、转动(r)、振动(v)、自旋(ms)、电子运动(e)及其核运动(n)等独立部分 分子的量子态可以由一组完备的量子数{n}表征,这组量子数的数目就等于分子的自由度 如果我们不考虑电子及核的运动,则分子中的原子看作圆球,原子间的化学键相当于弹簧。 有点规律吗？ 3、三种基本运动的比较 三维平动子能级 刚性转子能级 谐振子能级 1.平动子能级间隔远小于转动能级间隔 2.引入分子转动特征温度 当TTr,能级可以看作连续 异核分子 Tr/K 同核分子 Tr/K HD 64.0 H2 87.5 HF 30.3 D2 42.7 HCl 15.2 N2 2.86 HBr 12.1 O2 2.07 HI 9.0 Cl2 0.346 CO 2.77 Br2 0.116 NO 2.42 I2 0.054 3.引入分子振动特征温度 TTν很难满足, 能级不可以看作连续 分子 Tν/K 分子 Tν/K H2 6210 HI 3200 N2 3340 Cl2 810 O2 2230 Br2 470 CO 3070 I2 310 NO 2690 BrCl