关于算子｜A＋B｜^2与｜A｜^2,｜B｜^2的不等式.pdfVIP

第 38卷 第 8期 西 南 师 范 大 学 学 报 (自然科学版) 2013年 8月 Vo1．38 NO．8 JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScienceEdition) Aug． 2013 文章编号 ：1000—5471(2013)08—0022—03 关于算子 lA+J[；I2与lAl2，lBl2的不等式① 连 铁 艳 陕西科技大学 理学 院，西安 710021 摘要 ：把对算子绝对值 的研究转换成对 2×2算子矩阵的研究．利用算子 的Hadamard乘积 的性质 ，得到了关于 A*B+B A，lA+B】和lAl，lBl的不等式，推广 了算子绝对值等式，从而得到更广泛 的Bohr不等式的形式． 关 键 词 ：Bohr不等式；算子绝对值 ；伴随算子 ；算子矩阵 中图分类号 ：0177．1 文献标志码 ：A 设R表示全体实数集合，0表示全体复数集合， 为复数域上的可分希尔伯特空19，B( 表示 上的 有界线性算子全体组成的Banach代数．设 A，B∈B(Jt)，如果A—B≥0，则A≥B．A 表示A 的伴随算 子，则A 的绝对值定义为 lA I一 (A A)1． 古典的Bohr不等式口表明：如果a，6都是复数，p，q1且 +吉一，那么 In—bl。≤ PI6．／1+qlbl (1) ：~E23得到了算子形式的Bohr不等式：设A，B∈B(，户，q1且 +吉一1，≤g，则 IA—BJ。+l(1一p)A—Bl。≤ lA l。+q』B l (2) 文献[3—42得到了相关的算子等式：设A，B∈B(，，q∈同，，q1且吉+言一1，则 }A—B1+1√予A+√B12 1A12+glB12 (3) 从而可 以得到 ：(2)式成立的条件 “户≤ q”是可以去掉的． 设A，B，c，。∈B(扔，则算子矩阵会()可看作是空间①上的算子，。上的元素都是列向 量的形式，(A B)和f1分别是 ① 到 ，与 到 ① 的算子．在本文中，我们把对算子绝对值的研 究转换成对 2×2算子矩阵的研究，利用算子的Hadamard乘积的性质 ，讨论了A B+B A，lA+B I和 lA I，lB f之19的关系，文中的结果推广了(3)式 ，也推广了(1)与(2)式． 引理 1Es 设A，BE-B(a~O，若A≥0，B≥ 0，则A 。B≥ 0．其中 。表示两个算子的Hadamard乘积． 定理 1 设 A，B ∈B(扔 ，如果 a，b≥ 0，c∈ ，ab≥ c，则 alA I+blB l4-c(A B+B A)≥0 证因为(：)≥。，则(￡)≥。，其中，表示上的单位算子．又因为f会：]cAB=== ① 收稿 日期 ：2012—05—10 基金项 目：国家自然科学基金资助项 目；陕西省教育厅专项科研计划项 目(11JK0488，12JK0879) 作者简介 ：连铁艳 (1979一)，女，陕西澄城人，讲师，主要从事算子理论与小波分析的研究． 第8期 连铁艳 ：关于算子1A+Bl。与 lAI。，B【l的不等式 23 [BIAAI2 ]≥。，则由引理，有f 6 1≥。．所以 (， abA I cA*B )一n 。+lB12q-cA(*B+B*A)≥。 A 6 推论 1 当( 一 ) ≤ a 时，有 L + l≥x(A B+B A)． 证 因为 l + I一 (xA B+yB A)一a。jA l。+ 1Bl。+ ( ～z)(A B+B A)，利用定 理 1，当( 一z) ≤ 口。 时 ，有 J + }≥x(A B+B A)．