二阶仿酉矩阵的通解.pdfVIP

2013年 9月 安徽大学学报 (自然科学版) September2013 第 37卷 第 5期 JournalofAnhuiUniversity(NaturalScienceEdition) V01．37No．5 doi：10．3969／j．issn．1000—2162．2013．05．001 二阶仿酉矩阵的通解 李林杉，常广平，车 燕 (北京联合大学 基础部 ，北京 100101) 摘 要：在多项域里构造正交小波滤波器组等价于构造仿酉矩阵，而仿酉矩阵的构造涉及非线性方程组的求 解．通过对Cayley变换的研究，给出构造仿酉矩阵的条件，利用这些条件给出元素为二元一次多项式的二阶 仿酉矩阵的通解 ，并给出了算例． 关键词：仿酉矩阵；Cayley变换 ；正交小波滤波器组 中图分类号：0224 文献标志码 ：A 文章编号 ：1000—2162(2013)05—0001—05 Thegeneralsolution tosecond orderparaunitarymatrices LILin-shan，CHANG Guang—ping，CHE Yan (DepartmentofBasicCourse，BeijingUnionUniversity，Bering 100101，China) Abstract：In the polyphase domain，construction of orthogonalfilter bankswasequivalentto constructingparaunitarymatrices ，which led to solving setsofnonlinearequations．By thecayley transform ofresearch，wegavetheconditionofconsturctingparaunitarymatricesatfirst，thenusing theseconditions，wegavethegeneralsolutiontosecondorderparaunitarymatrices(eachelementwas abivariatepolynomialoforderone)，andsomeexampleswerealsogiven． Keywords：paraunitarymatrix；Cayleytransform；orthogonalfilterbanks 近年来，小波滤波器的理论和应用迅速增加，其 中正交性是小波应用于工程中的一个非常重要的特 性，而仿酉矩阵在正交小波滤波器组的构造中有着重要的应用 ．文[2]采用类似一维正交滤波器组 的构造方法，构造了具有栅格结构的二维滤波器组；文[4]通过求解非线性方程组的方法来研究仿酉矩 阵；文[5]通过对仿酉矩阵的扩充给出了对称正交小波的构造；文 [6—8]只研究了对称的仿酉矩阵；文 [14]研究了中心对称的仿酉矩阵，而二阶仿酉矩阵的通解 尚未见有研究的文献．作者受到文 [9]的启 发，利用 Cayley变换，讨论得到构造二阶仿酉矩阵的3个条件 ，进而给出元素为二元一次多项式的二阶 仿酉矩阵的通解．通过选取不同的参数，得到不同的仿酉矩阵，可以设计出大量的正交滤波器，这为从众 多滤波器 中选取满足需要的 “好滤波器”提供了可能． 1 二阶仿酉矩阵的构造 用 U 表示U的共轭转置 ， 表示 的转置 ，J表示单位阵；adjU表示 的伴随阵，Ti=Tr()表 示方阵U的所有 阶主子式之和．1zI=1，l l=1，设 为 n阶矩阵，U=(“(z，：))，若UU = 收稿 日期：2013一Ol一15 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目；北京联合大学新起点计划项 目(ZZ 作者简介：李林杉 (1974一)，女，河北阜城人 ，北京联合大学副教授． 2 安徽大学学报(自然科学版)